A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A vizsgálandó kifejezés a binomiális tételben szereplő kifejezésre emlékeztet. Ez adja az ötletet, hogy az kifejezést vizsgáljuk. A binomiális tételt alkalmazva: | | Az első szummát jelöljük -nel, a másodikat -nel. Ekkor | | (1) | Azt kell bebizonyítanunk, hogy . Megmutatjuk, hogy az szám alakban ( egész) egyértelműen írható fel, ugyanis az egyenlet átrendezéséből következik. Ha lenne, akkor racionális volna. Tehát , s ekkor . (1)-ből következik, hogy
Az említett egyértelműség miatt:
Ezekből két egymás utáni helyettesítéssel: (1)-ből: Rekurziós képletünkből következik, hogy azaz . Mivel , és , (2)-ből következik, hogy akkor és csak akkor igaz, ha . Mivel azonban és , ezért teljes indukció alkalmazásával következik állításunk. Balog Antal (Budapest, Móricz Zs. Gimn., IV. o. t.) |