A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Tegyük föl, hogy az szakaszon létezik a kérdéses pont, és jelöljük a egyenesnek a háromszög köré írt körrel való második metszéspontját -vel. Ekkor a föltevés szerint Másrészt az és háromszögek hasonlók, mert a belsejében van, ezért ugyanazon oldalán van a húrnak, mint , tehát a két háromszögben a felsorolás szerinti első két‐két csúcsnál levő szögek páronként egyenlők. Így | | (3) |
A (2) és (3) egyenlőségekben 3‐3 tényező egyezik, így a negyedik tényezők is, ezért vagyis a csúcs tükörképe -re. Eszerint a -nak olyan pontja, mely -től akkora távolságban van, mint ; tehát és vele létezésének szükséges föltétele, hogy a -n átmenő, -vel párhuzamos egyenesnek -re való tükörképe messe -t. Ez a föltétel elegendő is, mert ha közös pontja az -nek és a -nak, akkor a egyenes metszi -t, ezen metszéspontra , és így a (2) szerint megfelel és és közé esik. Legyen a -t nem tartalmazó ívnek -től legtávolabbi pontja ‐ vagyis a felező pontja ‐ , továbbá és vetülete -re , , ekkor a talált feltétel így írható: Válasszuk hosszegységnek körünk átmérőjét, ekkor a szögek felhasználásával, és mivel felezi -t:
Ezeket (4)-be helyettesítve a feltételünkkel ekvivalens (1)-et kapjuk. Soukup Lajos (Budapest, I. László Gimn., III. o. t.) Megjegyzés. Tompaszögű háromszögben ‐ amennyiben a tompaszög -nél van ‐ (4) eleve teljesül, hiszen . Ebből a bizonyított állításnál érdekesebb eredményt kapunk: ha akkor II. megoldás. Jelöljük a , szöget rendre gyel, -vel, ekkor a sinustétel alapján | |
Ezeket az követelménybe helyettesítve | | vagyis az ezt kielégítő pont mellett a szögekre teljesül, hogy | | (5) | Mármost
ezt (5)-tel egybevetve (1)-et kapjuk. Ezzel beláttuk, hogy ha a mondott tulajdonságú pont létezik, akkor teljesül (1). Tegyük most fel, hogy a háromszög szögeire teljesül (1). Ekkor van olyan szög, amelyre , és hiszen itt a jobb oldal értéke mindig legalább , és (1) teljesülése esetén | | Mivel erre a szögre , és így , azért a szögek pozitívak, és rájuk teljesül (5). A fenti gondolatmenet megfordításával viszont ebből azt kapjuk, hogy a , szögekhez tartozó pontra az , szakaszok mértani közepe, (1) tehát valóban elégséges feltétele az ilyen pont létezésének. Krausz Tamás (Debrecen, Fazekas M: Gimn., IV. o. t.)
|
|