A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Nagyítsuk a poliédert az centrumból a kétszeresére, és jelöljük a kapott poliédert -vel. Megmutatjuk, hogy a poliéderek mindegyike benne van -ben. Mivel térfogata térfogatának -szorosa, ebből már következik a feladatunk állítása, hiszen ha az nem volna igaz, térfogata legalább annyi lenne, minta poliéderek térfogatának az összege, vagyis térfogatának a 9-szerese. Legyen a poliéder tetszőleges pontja. Mivel a -ből származik az eltolással, a pont a poliéder valamely pontjának az eltolásából származik. Eszerint az , , vektorok egyenlőek, és az vektor egyenlő az , vektorok összegével, vagyis az vektor kététeresével, ahol a szakasz felezőpontja. Ez a felezőpont pedig -hez tartozik, mert és is -hez tartozik, és konvex. A feladat állítását ezzel bebizonyítottuk.
Breuer Péter (Eger, Gárdonyi G. Gimn.) | Megjegyzés. Az állítás 8 csúcsú konvex poliéderre már nem volna igaz, erre példa bármely paralelepipedon, hiszen egybevágó paralelepipedonokkal egyrétűen és hézagtalanul ki lehet tölteni a teret, és egy ilyen paralelepipedon szomszédai közül 7 éppen a feladatban szereplő eltolással áll elő belőle.
|