Kezdőlap


Feladat:	1970. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 13. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1970/október, 77. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Konvergens sorok, Nevezetes azonosságok, Konstruktív megoldási módszer, Mértani sorozat, Határozott integrál, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/szeptember: 1970. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 13. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $a_{0}, a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}, ...$ valós számokból álló sorozat eleget tesz a következő egyenlőtlenség-láncnak:

\begin{matrix} 1 = a_{0} \leq a_{1} \leq a_{2} \leq ... a_{n} \leq ... \end{matrix}

(1)

Ezután a

b_{1}, b_{2}, ..., b_{n}, ...

sorozatot a következőképpen definiáljuk:

\begin{matrix} b_{n} = \sum_{k = 1}^{n} (1 - \frac{a_{k_{1}}}{a_{k}}) \frac{1}{{\sqrt[]{a}}_{k}} . \end{matrix}

(2)

Bizonyítsuk be, hogy
I. a

0 \leq b_{n} < 2

egyenlőtlenségpár minden

n

-értékre fennáll ;
II. bármely adott és a

0 \leq c < 2

egyenlőtlenségpárt kielégítő

c

valós szám esetén létezik olyan, a (1)-nek eleget tevő

a_{0}, a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}, ...

sorozat, hogy a belőle képezett

b_{n}

számok közül végtelen sok nagyobb

c

-nél.