Kezdőlap


Feladat:	1970. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 11. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1970/október, 77. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hozzáírt körök, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Beírt kör, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/szeptember: 1970. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 11. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $M$ az $A B C$ háromszög $A B$ oldalának valamely belső pontja. Jelölje $r_{1}$ , $r_{2}$ és $r$ rendre az $A M C$ , $B M C$ , ill. $A B C$ háromszögbe írható kör sugarát, továbbá $ϱ_{1}$ az $A M C$ háromszög $A M$ oldalához, $ϱ_{2}$ a $B M C$ háromszög $B M$ oldalához, végül $ϱ$ az $A B C$ háromszög $A B$ oldalához tartozó hozzáírt kör sugarát.
Bizonyítsuk be, hogy ekkor fennáll a következő egyenlőség:

\begin{matrix} \frac{r_{1}}{ϱ_{1}} \cdot \frac{r_{2}}{ϱ_{2}} = \frac{r}{ϱ} . \end{matrix}