A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Három körünk második közös érintőjének létezéséhez elég azt belátnunk, hogy középpontjaik egy egyenesen vannak. Ez az egyenes ugyanis közös szimmetriatengelyük, tehát az közös érintőnek -re vett tükörképe szintén érinti mindhárom kört. Legyen a kör középpontja , sugara , -n levő érintési pontja , a félkör középpontja , átmérője . Azt fogjuk bebizonyítani, hogy az szakasz felezőpontja, vagyis hogy egyenlő az derékszögű trapéz középvonalával, és hogy felezi a trapéz magasságát.
Legyen a derékszögtartományban, ekkor a -ben van. Feltehetjük, hogy , így az szakaszon, esetleg éppen -ban van; legyen . Mivel érinti a szakaszt, azért , a -val való belső érintkezése alapján pedig . Az derékszögű háromszögben , és így Mivel , az -t nem tartalmazó tag, az egyenlet két gyökének szorzata negatív, azért a gyökök valósak, egyikük pozitív, másikuk negatív. A pozitív gyökre van csak szükségünk: és itt a gyökjel alatt áll, hiszen derékszögű háromszög, ezért Hasonlóan az derékszögű háromszögben Pitagorasz tétele alapján ennek pozitív gyöke és így az trapéz középvonalának hossza Mármost a jobb oldali kifejezés ‐ mint ismeretes ‐ megadja a -nél derékszögű háromszögbe beírt kör sugarát, ami , eszerint (2) a fenti állítás első részét bizonyítja. értelmezéséből az is adódik, hogy ‐ -n való érintési pontját -gyel jelölve ‐ fennáll . Így, felhasználva (1)-et, majd (2)-t
ez pedig állításunk második része. Ezek szerint felezi a trapéz szárát, az itt -re merőlegesen, vagyis az alapokkal párhuzamosan felmért szakasz a trapéz középvonala, tehát az száron van. Ezt akartuk bizonyítani.
Hadik Róbert (Makó, József A. Gimn., IV. o. t.) |
|