A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A vizsgálandó kifejezés minden előírt esetében csak véges számú, 0-tól különböző tagot tartalmaz. Ugyanis a -edik jelben álló kifejezés alakban írható, és ez pozitív valódi tört minden olyan esetén, melyre tehát egész része 0. (Ha a feltétel valamely egész -ra teljesül, akkor minden további egész értékre teljesül, hiszen a függvény monoton nő:) Jelöljük az összeget -nel és tekintsük néhány értékét. | |
E példákban n-et 1-gyel -1-gyel növelve Sn-nek mindig egyetlen tagja nőtt 1-gyel, a többi változatlan maradt. Megmutatjuk, hogy ez minden esetben így van, ezáltal teljes indukció útján bizonyítjuk az Sn=n összefüggést. Valóban, ha n+2k és n+1+2k a 2k+1-nek ugyanazon két többszöröse közé esik, az alsó határt megengedve, de a fölsőt nem. Ha viszont n+1+2k eléri 2k+1 következő többszörösét, tehát valamilyen m-re | n+1+2k=(m+1)2k+1,azazn+1=(2m+1)2k, | akkor | [n+2k2k+1]=[(m+1)2k+1-12k+1]=més[n+1+2k2k+1]=[(m+1)2k+12k+1]=m+1. | Ilyen k minden egyes n-re csak egy van: ez az a kitevő, amire emelve 2-t, a hatvány még osztója n+1-nek, de a magasabb hatványok már nem. (Ha tehát n+1 páratlan, akkor k=0.) Ezzel beláttuk, hogy | Sn+1-Sn=1,ígySn=S1+n-1=n. |
Megjegyzés. Mivel az [(n+2k)/2k+1] tag azoknál az n-eknél nő 1-gyel, amelyek 2k-nak páratlan többszörösei és n=1⋅2k-nál 1 az értéke, így ez a tag az olyan, n-nél nem nagyobb számok számát adja, melyek oszthatók 2k-nal, de 2 magasabb hatványával nem. Ezt nem nehéz közvetlenül igazolni, ami a fenti megoldásnak egy másik változatát adja. II. megoldás. Bebizonyítjuk alább a következő azonosságot: Ezt ismételten alkalmazva, n így alakítható át: n=[n]=[2⋅n2]=[n2]+[n2+12]==[n+12]+[n4]+[n4+12]=[n+12]+[n+24]+[n8]+[n8+12];
és általában | n=[n+12]+[n+24]+...+[n+2l2l+1]+[n2l+1]. | (3) | Ezt l=0,1,2-re már láttuk és ha valamilyen l0 értékre igaz, akkor (2)-t alkalmazva az utolsó tagra
n=[n+12]+[n+24]+...+[n+2l02l0+1]+[n2l0+1]==[n+12]+[n+24]+...+[n+2l02l0+1]+[n2l0+2]+[n2l0+2+12]==[n+12]+[n+24]+...+[n+2l02l0+1]+[n+2l0+12l0+2]+[n2l0+2].
(3) tehát l=l0+1-re is fennáll. Ha l-et akkorára választjuk, hogy 2l+1>n legyen, akkor az utolsó tag értéke 0, s így az (1) összeg értékére kapjuk, hogy az n. A felhasznált (2) azonosság bizonyítását két esetre választjuk szét. Ha | [x]≤x<[x]+12,akkor[x]<[x]+12≦x+12<[x]+1, | tehát | [x+12]=[x],és így[x]+[x+12]=2[x]≤2x<2[x]+1, | amiből Ha pedig | [x]+12≤x<[x]+1,akkor[x]+1≤x+12<[x]+32[x]+2, | tehát | [x+12]=[x]+1,és így[x]+[x+12]=2[x]+1≤2x<2[x]+2, | amiből ismét Megjegyzések. 1. A bizonyítás (3)-at valamivel általánosabban, tetszőleges pozitív n-re adja, ha a bal oldalon n helyére [n]-ét írunk, s így az (1) összeg is tetszőleges pozitív n-re [n]-ét adja. 2. A (2) azonosságnak és a látott megoldás alapján (1)-nek konkrét tartalmát látjuk a következő probléma megválaszolásában. Játsszék bizonyos számú versenyző ‐ pl. pingpongozó ‐ a szokásos módon kieséses versenyt, vagyis kettesével játszanak egymás ellen, minden párból a nyertes jut a második fordulóba, továbbá játék nélkül a pár nélkül maradt versenyző ‐ amennyiben ilyen van, ti. ha az indulók száma páratlan; ugyanígy alakul ki a 3., a 4., ... forduló mezőnye, végül az nyeri a bajnoki érmet, aki veretlenül marad. Tegyük még fel, hogy minden vesztes vigaszdíjként megkapja a mérkőzésén használt pingponglabdát. ‐ Kérdés: hány mérkőzés folyik le, más szóval hány labda kerül kiadásra az egyes fordulókban ? Bármelyik forduló indulóinak számát v-vel jelölve a fordulóban [v2] mérkőzés folyik le. Ennyi a továbbjutók száma is, ha v páros ; ha pedig pártatlan, akkor 1-gyel több. Számuk v párosságától függetlenül [v2+12]=[v+12] alakban írható, eszerint a (2)-nek megfelelő azonosság azt fejezi ki, hogy minden versenyző vagy kiesik, vagy továbbjut. Másrészt az egész verseny folyamán 1-gyel kevesebb labdát adnak ki, mint az indulók száma, hiszen a bajnok kivételével mindenki kiesik előbb-utóbb. A kiadandó labdák számát n-nel jelölve az első forduló indulóinak, kiesőinek és továbbjutóinak száma rendre a másodikban kiesők, ill. a továbbjutók) száma | [[n+22]2]=[n+222],ill.[[n+22+1]2]=[n+222], | könnyű ugyanis belátni, hogy ha a, b, c természetes számok, akkor | [[ab]c]=[abc]és[ab]+c=[ab+c]. |
Általában a k-adik fordulóból továbbjutott [n+2k2k] versenyző közül labdát kap, ill. továbbjut | [[n+2k2k]2]=[n+2k2k+1],ill.[[n+2k2k+1]2]=[n+2k+12k+1], | tehát (1) tagjai az egymás utáni fordulókban kiadott labdák számát adják, összegük pedig n-et, az összes labdák számát. |