Kezdőlap


Feladat:	1968. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 22. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Birkner Lajos , Csirmaz László , Somorjai Gábor , Soós Miklós , Váli László , Váradi József
Füzet:	1968/szeptember, 30. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényegyenletek, Nevezetes azonosságok, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/szeptember: 1968. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 22. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelentsen $f$ olyan valós függvényt, amely minden valós $x$ -re értelmezett, továbbá a következő tulajdonságú:

\begin{matrix} f (x + a) = \frac{1}{2} + \sqrt[]{f (x) - {[f (x)]}^{2}}, \end{matrix}

(3)

ahol

a

adott pozitív szám.
I. Bizonyítsuk be, hogy az

f

függvény periodikus, azaz létezik olyan pozitív

b

szám, amelyre

x

minden értéke esetén fennáll:

\begin{matrix} f (x + b) = f (x) . \end{matrix}

(4)

II. Adjunk konkrét példát (az azonosan állandótól különböző) ilyen

f

függvényre, ahol

a = 1