A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Vonjuk ki az egyenlet mindkét oldalából -t (ahol ): | |
Eszerint az egyenletrendszer megoldásában esetén annyival nagyobb -nél, mint az másodfokú függvények az helyen felvett értéke, és az értékkel nagyobb, mint . Mármost az I. feltevés esetén előjele állandó és megegyezik előjelével, mert így írható: | | (2) | és a szögletes zárójelbeli kifejezés pozitív. Eszerint ‐ feltéve, hogy van valós megoldás és ‐ az egyenletek jobb oldalán álló különbségek mindegyike pozitív, emiatt | | (3) | Ez pedig ellentmondás, hiszen a szigorúan növekedő sorozat elején és végén ugyanaz a szám áll: , ilyen megoldás tehát nincs. Ugyanez adódik esetén abból, hogy mindegyik egyenletének mindkét oldala negatív, és ezért | | (4) |
A II. feltevés esetén a (2) alak szerint egyetlen helyen, az helyen a értéket veszi fel, minden más helyen olyan előjelű, mint . Ennél fogva az -beli jobb oldali különbségek ‐ az előbbi esethez képest ‐ a értéket is felvehetik (de -val ellentétes előjelű értéket nem), (3) és (4) helyére a következőt kapjuk:
Bármelyikük csak úgy állhat fenn, ha tehát -ben mindegyik jobb oldal értéke , és az ismeretlenek közös értéke az egyenlet egyetlen gyöke, az (5) érték. Ez a megoldás egyértelmű. Az eddigiek alapján könnyű belátni, hogy a III. feltevés esetén az egyenletrendszernek két olyan megoldása van, amelyben minden ismeretlen értéke ugyanaz, éspedig az egyenlet egyik, ill. másik gyöke: | | mert III. miatt a mondott értékek valósak és különbözők. Eszerint egynél több valós megoldás van. Ezzel mindhárom állítást bebizonyítottuk. Fazekas Béla (Pannonhalma, Bencés Gimn., IV. o. t. ) Megjegyzés. Példát mutatunk arra, hogy a III. feltevés esetén az egyenletrendszernek -nél több megoldása is lehet. , , esetén , és a fentiek szerinti megoldásokon kívül esetén az egyenletrendszert az értékrendszer is kielégíti (és természetesen a ciklikus fölcseréléssel adódó , , valamint , , megoldás is). Fazekas Béla |