|
Feladat: |
1968. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 12. feladata |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Csirmaz László , Fazekas Árpád , Fialovszky Alice , Gyöngy István , Göndőcs Ferenc , Krasznai András , Reviczky János , Simon Júlia , Somorjai Gábor , Váli László , Váradi József |
Füzet: |
1969/január,
28 - 29. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1968/szeptember: 1968. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 12. feladata |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Megmutatjuk, hogy legfeljebb 2 jegyű lehet. Legyen ugyanis -jegyű, vagyis ekkor, ha , megbecsülve (1) bal oldalát felülről, a jobbat alulról | | és ha , akkor a jobb oldal -nél nagyobb, tehát nem állhat fenn az egyenlőtlenség. Legyen mármost , akkor (1) jobb és bal oldalának különbsége így írható: | | Itt csak lehet, mert ha , akkor az első 3 tag összege 100-nál nagyobb, másrészt sem lehet, mert 47 nem négyzetszám. Ha , (1)-ből a egyenlet adódik, amelynek egyetlen pozitív egész megoldása , tehát a keresett szám . Göndőcs Ferenc (Győr, Révai M. Gimn.) II. megoldás. Mivel (1) bal oldalán , egyenletünknek csak azok között a számok között van megoldása, amelyekre a jobb oldal sem negatív: Az egyenlőség az | | számokra teljesül, tehát egyenlőtlenségünk megoldása: , és . Mivel természetes szám, . Az első érték, , megoldása egyenletünknek. Megmutatjuk, hogy más megoldás nincs. Ha akkor a jobb oldalon | | viszont . Valóban, ha jegyű (), akkor , ahol az szám első jegye, és a többi () jegy szorzata legfeljebb . Emiatt Tehát egyenletünk egyetlen megoldása . Fazekas Árpád (Nyíregyháza, Vasvári P. Gimn.) Gyöngy István (Budapest, Ságvári E. Gyak. Gimn.) |
|