A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Megmutatjuk, hogy ha egy háromszög egyik szöge kétszer akkora, mint egy másik szöge, akkor a kétszer akkora szöggel szemben fekvő oldal mértani középarányos a másik említett szöggel szemben fekvő oldal és a további két oldal összege között. A szokásos jelölésekkel: ha , akkor Legyen az háromszög -ből induló szögfelezője , ekkor az háromszög egyenlő szárú, és -nél levő külső szöge (. ábra).
1. ábra Így két-két szögük megegyezése alapján és hasonló háromszögek: Itt a szögfelező osztásaránya alapján
amiből állításunk következik. Esetünkben miatt csak vagy lehet. Az első esetben (1) alapján és ez csak esetén egész. Ekkor azonban és , e három szám nem teljesíti a háromszög egyenlőtlenséget. esetén a nagyságra nézve középső oldal, , és így (1)-ből | | Ennek pozitív gyöke , és a feladat egyetlen megoldása: , , . Ezzel az állítást bebizonyítottuk. II. megoldás. Legyen továbbra is . A , oldalpárra a sinustételt, majd az oldalra a cosinustételt alkalmazva | | alkalmas rendezéssel | | amiből ismét (1)-re jutunk, hiszen a vizsgálandó háromszögek nem egyenlő szárúak, egyszerűsíthetünk -val. Tovább pedig az I. megoldás szerint haladhatunk. Megjegyzések. 1. Látható, hogy az I. megoldás elemi meggondolásával egyszerűbben kaptuk (1)-et, mint a trigonometriai tételek alkalmazásával. 2. Könnyű belátni, hogy (1) megfordítása is helyes: ha (1) fennáll, akkor fennáll is; más szóval a háromszögben a és a összefüggés fennállása egymással ekvivalens állítások. Mérjük rá -nek -n túli meghosszabbítására a szakaszt, ekkor (1) miatt az egyenlő szárú háromszög köré írt kör érinti az egyenest -ban (2. ábra).
2. ábra Ezért , mint a rövidebb íven nyugvó kerületi szögek. Párhuzamost húzva -n át -val az -vel való metszéspontig, tehát , amint állítottuk. Hasonlóan trigonometriai számítással is könnyen bizonyítható az állítás megfordítása.
|