|
Feladat: |
1966. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 22. feladata |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Andor Cs. , Bajmóczy E. , Balogh J. , Bárász P. , Barbarits A. , Baróthy B. , Berács József , Bottyán I. , Bulkai T. , Csirmaz L. , Csörgei J. , Dobozy O. , Draschitz R. , Egri R. , Farkas István , Gács P. , Gegesy F. , Gellért J. , Gyarmati Erzsébet , Hernádi Ágnes , Hunyadvári L. , Jánosi J. S. , Joó I. , Juhász Ágnes , Kele A. , Koren A. , Kovács Tamás , Körmendi S. , Lakner Mária , Losonczi Z. , Medveczky M. , Mérő L. , Mlakár Katalin , Moson P. , Nádai L. , Pataki I. , Perémy G. , Pintér Ágnes , Pintz J. , Schön G. , Siklósi I. , Somos E. , Sugár L. , Szabados Katalin , Szenes K. , Szentgáli Á. , Szűcs A. , Takács L. , Tátray P. , Vályi I. , Verdes S. , Vetier A. , Zöldy B. |
Füzet: |
1967/szeptember,
11 - 12. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1966/szeptember: 1966. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 22. feladata |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. ) A rendszert először a paraméterek nagyságviszonyának esetére oldjuk meg. A többi eseteket erre fogjuk visszavezetni. (I) így alakul:
Vonjuk ki (II)-(IV) mindegyikét az utána álló egyenletből, továbbá adjuk össze az első és az utolsó egyenletet. Alkalmas kiemelésekkel:
Mivel a paraméterek kiemelt különbsége egyik egyenletben sem , velük egyszerűsíthetünk:
Mármost (VII) és (VI), valamint (VIII) és (VII) különbségéből, továbbá (IX) és (VIII) különbségéből, illetve (VI) és (IX) összegéből ) Legyen , ahol , , , az , , , indexek egy tetszés szerinti sorrendje. Az előre jelzett visszavezetést a következő helyettesítéssel hajtjuk végre. Legyen
(I) -adik egyenlete, a bal oldalon a tagok sorrendjére nem tekintve így írható: | | ezért helyére a következő lép: | | ez pedig csak abban tér el (II)-től hogy minden egyes és betű helyén , ill. áll, hiszen miatt mindegyik együttható egyenlő az abszolút érték jelén belül álló különbség ()-szeresével. Hasonlóan (I)-nek -edik, -edik, -adik egyenlete helyére rendre (III), (IV), (V) lép, a betűk mondott cseréjével, az indexek viszont mindenütt változatlanul maradnak. Ezek szerint esetén (I) megoldása: Berács József (Győr, Czuczor G. Bencés Gimn., III. o. t.) |
|