Kezdőlap


Feladat:	1966. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 11. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Simon Csaba
Füzet:	1967/március, 108 - 109. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Elsőfokú diofantikus egyenletek, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/szeptember: 1966. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 11. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A legalább egy feladatot megoldó versenyzőket az alábbi $5$ csoportba soroljuk:
I. akik csak $A$ -t oldották meg,
II. akik megoldották $A$ -t és még legalább egy feladatot,
III. akik csak $B$ -t oldották meg,
IV. akik csak $C$ -t oldották meg,
V. akik $B$ -t és $C$ -t oldották meg.

Így mindegyikük szerepel valamelyik csoportban, de csak egyben.
Legyen a III., IV. és V. csoport tagjainak száma rendre $b$ , $c$ , $d$ . Csak ezek nem tudták megoldani $A$ -t. Közülük $C$ -t megoldotta $c + d$ , $B$ -t pedig $b + d$ . Az utóbbi szám $2$ -szerese az előbbinek:

\begin{matrix} b + d = 2 (c + d) \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} d = b - 2 c, \end{matrix}

(1)

és mivel ez a szám nem lehet negatív,

\begin{matrix} b ≧ 2 c . \end{matrix}

(2)

Azok, akik csupán egy feladatot oldottak meg, az I., a III. és a IV. csoport tagjai. Közülük a III.-beliek és a IV.-beliek azok, akik

A

-t nem tudták megoldani. Számuk

b + c

, így a csupán egy feladatot megoldók száma

2 (b + c)

, ennélfogva a csak

A

-t megoldók száma ugyancsak

b + c

így pedig a II. csoport tagjainak száma

b + c - 1

.
Mármost az

5

csoport tagjainak együttes számából (1) figyelembevételével

\begin{matrix} (b + c) + (b + c - 1) + b + c + (b - 2 c) = 4 b + c - 1 = 25, \end{matrix}

\begin{matrix} 4 b + c = 26, másképpen c = 4 (6 - b) + 2. \end{matrix}

(3)

b

és

c

nem negatív egész számok, ezért itt az utóbbi alakból

b ≦ 6

és

c ≧ 2

. Másrészt (2) alapján (3) első alakjából

8 c + c ≦ 26 < 27

c < 3

, tehát

c = 2

és

b = 6

. Eszerint

6

olyan tanuló volt, aki csak a

B

feladatot oldotta meg. (Az I., II., V. csoport tagjainak száma rendre

8

7

, ill.

2

Simon Csaba (Szombathely, Nagy Lajos Gimn. IV. o. t.)

Megjegyzés. Az utolsó lépésben (1)-nek

b = 2 c + d

alakjából ennyit is elég kiolvasni:

b ≧ c

. Így ugyanis (3)-ból

5 b ≧ 26

b ≧ 6

, tehát

b = 6