A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Egyik sem lehet 0, mert könnyen látható, hogy akkor a többi csak 2 lehetne, de akkor . Jelöljük az szorzatot -nal, ekkor az egyenletrendszert kell megoldanunk. Innen | | eszerint az ismeretleneket 1-gyel csökkentve legföljebb két különböző számot kaphatunk. Ez háromféleképpen adódhat:
) mind a négy különbség értéke egyenlő, ) hármuk egyenlő, a negyedik -szer akkora, ) kettőjük egyenlő, a másik kettőjük -szer akkora.
Az esetben , ezért (1)-ből | | és mivel a második tényező minden valós értékre pozitív: | | azért csak lehetséges. Az 1, 1, 1, 1 számnégyes valóban kielégíti a követelményeket.
A esetben pl. , és így , továbbá . Így , ezért (1)-ből esetén és mivel , értéke 1, vagy . Az első az előbbi megoldásra vezet, az utóbbi pedig a , , , 3 számnégyesre, ami szintén valóban megoldás. A esetben pl. , azaz , és , így pedig (1)-ből esetén | | csak az 1, 1, 1, 1 megoldást kapjuk. Mindezek szerint a követelménynek két valós számnégyes felel meg: 1, 1, 1, 1 és , , , 3.
Lőrincz János (Sárospatak, Rákóczi F. g. IV. o. t.)
II. megoldás. Olyan megoldás, amelyben , egy van, mint az előző megoldásban láttuk: . Ha a számok között van különböző, akkor van olyan, amelyik legalább két másiktól különbözik. Válasszuk a sorszámozást úgy, hogy , teljesüljön. Írjuk fel a követelményt -ből és -ből kiindulva, majd képezzük a két egyenlőség különbségét:
Hasonlóan Ekkor (3)-ból és (4)-ből , és , ezért (2)-ből , és , tehát . Az -ből kiindulva adódó egyenletből -et, -at, -et könnyen kiküszöbölhetjük, ha -vel szorzunk:
Innen vagy , , , ami nem tartalmaz különböző értékeket, vagy , , , és ez valóban kielégíti a követelményeket. |