Feladat: 1963. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 21. feladata Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Draskovits Pál 
Füzet: 1964/szeptember, 19 - 20. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1963/október: 1963. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 21. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egyszerűen kifejezhetjük x1-gyel és x2-vel a többi ismeretleneket: először az (1)-ből x5-öt, (2)-ből x3-at, majd ezek felhasználásával (3)-ból x4-et:

x5=yx1-x2,(1a)x3=-x1+yx2,(2a)x4=-yx1+(y2-1)x2.(6)


A nyert kifejezéseket (4)-be és (5)-be beírva és 0-ra redukálva az egyenleteket (közben a kínálkozó kiemelési lehetőséggel is élve):
(y-1)(x1+x2)+y2x1-y(y2-1)x2==(y2+y-1)x1+(y-1)[1-y(y+1)]x2=0,(1-y)x1+(y2-1)x2-y2x1+yx2=(1-y-y2)x1+(y2+y-1)x2=0;


azaz
(y2+y-1)[x1-(y-1)x2]=0,(7)(y2+y-1)(-x1-x2)=0.(8)



Vizsgáljuk először azt az esetet, ha
y2+y-1≠0.(9)
Ekkor
x1-(y-1)x2=0,(7a)x1-x2=0,(8a)


azaz
x1=x2,(10)(y-2)x1=0.(11)


Ebből, ha még y≠2 is teljesül, (1a), (2a) és (6) alapján következik, hogy
x1=x2=x3=x4=x5=0.
Ez nyilván kielégíti az (1)‐(5) egyenleteket.
y=2 esetén ‐ amikor (9) is teljesül ‐ (11)-et kielégíti bármely x1 szám, ekkor (10), (1a), (2a) és (6)-ból
x2=x3=x4=x5=x1
adódik, és ez y=2 mellett tetszés szerinti x1 értékre kielégíti az (1)‐(5) egyenletrendszert.
Ha
y2+y-1=0,(12)
vagyis y az
η1=5-12ésη2=5+12
számok valamelyikével egyenlő, akkor a (7), (8) egyenletrendszert tetszés szerinti x1, x2 számpár kielégíti, a további három ismeretlen megfelelő értékét pedig (1a), (2a), ill. (6) állítja elő. Mivel a (12) egyenlet gyökeire
ηi2-1=-ηi,(i=1,2)
így a megoldás:
x1,x2,x3=-x1+ηix2,x4=-ηi(x1+x2),x5=ηix1-x2.(13)
A behelyettesítés mutatja, hogy bármely, ((13) értékrendszer kielégíti az adott egyenletrendszert.
 

Összefoglalva: ha az y paraméter értéke különbözik 2-től, η1-től és η2-től, akkor a rendszer egyetlen megoldása x1=x2=x3=x4=x5=0;
ha y=2, akkor minden x1=x2=x3=x4=x5=u értékrendszer megoldás (u tetszés szerinti szám);
ha pedig y olyan η számmal egyenlő, amelyre η2+η-1=0,, akkor minden olyan
x1=u,x2=v,x3=-u+ηv,x4=-η(u+v),x5=ηu-v
értékrendszer megoldás, melyben u, v tetszés szerinti számok (ez természetesen v=u esetén is különbözik az y=2 esettől).
 
 Draskovits Pál (Budapest, Vörösmarty M. g. IV. o. t.)
 
Megjegyzés. Néhányan túlzott óvatosságból a (11) egyenlet előállítása után külön tárgyalták az y=1 esetet. Erre nem volt szükség, mert (11) ekkor is következménye (7a)-nak és (8a)-nak (ekvivalens (7a)-val), erre a kiadódott megoldás (ti. minden xi=0) szintén felhívhatta volna a figyelmet.