A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Ha a kérdéses -szög szögei egyenlők, akkor egyszersmind egyenlők a szabályos -szög szögeivel. Ez viszont a bizonyítandó állítással együtt azt fejezi ki, hogy sokszögünk szabályos ‐szög.
esetére ismeretes, hogy ha egy háromszög mindhárom szöge egyenlő (ti. ), akkor oldalai is egyenlők, az állítás helyes. Közvetlenül belátható az állítás esetére is. Ekkor derékszögű négyszögről van szó. Ebben a szemben levő oldalak párhuzamosak és egyenlők: és . (1) szerint viszont nem nagyobb -nél, és nem kisebb -nál, így , és mind a négy oldal egyenlő. esetére legyen a kérdéses -szög , ahol , , , , továbbá bármelyik két egymás utáni oldal közti szög , tompaszög. Megmutatjuk, hogy a (2)-vel ellentétes feltevés ellentmondásra vezet. Legyen , , , közül az első olyan, amely határozottan kisebb az előtte állónál: | | Tekintsük azt az oldalú szabályos -szöget, amelynek első két csúcsa azonos -gyel, ill. -vel, és amely az egyenesnek ugyanazon oldalán van, mint . Ekkor , , , rendre azonos , , , -vel, de már a szakasz közbülső pontja; ebből következik az is, hogy , mert különben az szerepét átvevő nem lehetne azonos -gyel. A következő oldal belsejében van. Ha ugyanis az egyenesnek kerületével való, -től különböző közös pontja , akkor az -nél és -nél levő szögek egyenlősége miatt az négyszög trapéz, benne ‐ mint láttuk ‐ -nél és -nél tompaszög van, ezért | | Ebből az is következik, hogy , mert ha , akkor -n -et kellene értenünk, de ez nincs belsejében. Ha mármost (1) további részében mindenütt ismét egyenlőség áll: , akkor hasonló meggondolás mutatja, hogy az , , , csúcsok azonosak annak az oldalú szabályos -szögnek , , , csúcsaival, amelynek oldala azonos -gyel, és amely az egyenesnek ugyanazon az oldalán van, mint . az -nek arányú kicsinyítettje, és -gyel hasonló helyzetű a közös csúcsra, mint középpontra nézve. Ezért , és kivételével minden csúcsa belsejében van. Az -nel azonos nincs az kerületén levő 3 csúcs között, mert mint láttuk, . Azt kaptuk tehát, hogy feltevéseink mellett az -re nézve belső pont. Ez ellentmondásban van azzal, hogy -nak és -nek közös csúcsa , és így a szakaszon van, esetleg ennek végpontjában, mindenesetre kerületén. Ha pedig (1)-nek és közötti részében további határozott egyenlőtlenségek állnának fenn, ebből az előbbi eljárás ismétlésével kapnók, hogy belső pontja egy rendre kisebb oldalú , , szabályos -szögnek, amelyeknek nincs közös csúcsuk -gyel, és egészen benne vannak -ben ‐ ez pedig ismét ellentmondás azzal, hogy -nek kerületén kell lennie, mint fent láttuk. Legfeljebb annyi újabb szabályos -szöget kellene figyelembe vennünk, ahány helyen (1)-ben határozott egyenlőtlenség áll fenn. ‐ Ezzel a bizonyítást befejeztük.
Aczél Gábor (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. III. o. t.) dolgozata kiegészítésekkel.
II. megoldás. Továbbra is használva az I. megoldás jelöléseit, az és -szögek oldalai rendre párhuzamosak egymással. Legyen , ill. aszerint, amint páros vagy páratlan. Legyen az szög felezőjén , merőleges vetülete . Ha páratlan, akkor merőleges az oldalra, így mindkét esetben egyrészt az törött vonalnak, másrészt az törött vonalnak a vetülete -en, a két vetület különbsége tehát 0. Jelöljük az oldal vetületét -en -vel, ekkor tehát | | (3) |
A két sokszög szögeinek egyenlő voltából következik, hogy az és oldal ugyanakkora, csak ellenkező irányú szöget zár be -fel, és a sokszög konvex volta miatt ez a szög hegyes szög, esetleg , ti. ha párhuzamosak. Ezért | | tehát (3) csak úgy teljesülhet, ha mindegyik különbség 0, így többek közt , amiből következik. Ezt (1)-gyel összekapcsolva következik (2).
Nagy Péter Tibor (Kiskunhalas, Szilády Á. g. IV. o. t.) dolgozata, kiegészítéssel. |