A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ha a háromszög egyenlő oldalú, akkor a két kör középpontja egybeesik és egyben a háromszög súlypontja is. Így , mert -et a súlyvonalnak a csúcs felé eső 2/3 része adja, -t pedig a súlyvonalnak az oldal felé eső 1/3 része. A bizonyítandó egyenlőség fennáll, mert mindkét oldala 0.
Legyen az háromszögben , a beírt kör középpontja , -n és -n levő érintési pontja , ill. , a körülírt kör középpontja , és -val átellenes pontja . A szög felezője azonos az szimmetriatengellyel, így az és háromszögek hasonlók, mert -nál levő szögük közös, másrészt az érintés, ill. Thalész tétele miatt is, is merőleges az szárra. Ezért Az háromszög egyenlő szárú. Ugyanis és párhuzamosak, ezért és váltószögek, egyenlők, az utóbbi pedig egyenlő a szöggel, mert az tükörképe a szögfelezőre. Így , tehát (2)-ből | | (3) |
A középpont a hosszúságú szakasz középpontja, és is ezen a szakaszon van, az egyik végponttól , a másiktól távolságra, tehát (3)-ból Az (1) állítás innen átalakítással adódik.
Szilágyi Tivadar (Budapest, II. Rákóczi F. g. III. o. t.)
Megjegyzések. 1. A megoldók nagy része a fentinél több számítással jutott eredményre. Egyenleteket írtak fel az alap, a szár, az magasság, a kerület és a terület, valamint a két sugár között. Számos dolgozat nem vette azonban figyelembe és minden lehetséges elhelyezkedését. 2. Néhányan bebizonyították, hogy (1) minden háromszögre érvényes.
V. ö. Kürschák‐Hajós‐Neukomm‐Surányi: Matematikai Versenytételek I. o. Középiskolai Szakköri Füzet (Tankönyvkiadó, Budapest 1955) 41. o. |