A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. ábra I. megoldás. Olyan pontot keresünk, amellyel az négyszög oldalait érintő kör a négyszög belsejében van. Ekkor, mint ismeretes, . Gondoljuk megoldottnak a feladatot és válasszuk a betűzést úgy, hogy álljon . ( esetén nyilvánvaló, hogy a -vel átellenes pont. Az esetben .) Mérjük rá -ra a szakaszt (1. ábra). Így egyrészt ismert. Másrészt a háromszög egyenlő szárú, -nél levő külső szöge egyenlő az szöggel, mert húrnégyszög, ezért és . Ezek szerint az háromszögben ismerjük az , oldalakat és az utóbbival szemben fekvő szöget. Ezek alapján megszerkeszthetjük helyzetét. egyrészt az körül sugárral írt körön van, másrészt azon az köríven, amelyről látószöge , és amely az egyenes -vel egyező, tehát -vel ellentétes oldalán van. középpontjából -t szögben látjuk ‐ ugyanúgy, mint -ből ‐, ezért az -t tartalmazó kör középpontját -ból felező merőlegese metszi ki. ismeretében a keresett -t az egyenes metszi ki -ból.
2. ábra mindig létrejön, mert középpontja az végpontjában van, és sugara kisebb az -hez tartozó húrnál, ugyanis az háromszögből . Éspedig a belsejében van, mert -re is ez áll; ugyanis pontjaiból -t nagyobb szögben látjuk, mint a -hoz tartozó, -t tartalmazó ív pontjaiból, hiszen . -re mindig 1 megoldást kapunk. A kapott pont megfelel a követelménynek. Ugyanis -nak -t nem tartalmazó ívén van, ezért , így a háromszögből | | tehát ez a háromszög egyenlő szárú, , így | | Ez pedig elegendő feltétele annak, hogy az (konvex) négyszög belsejébe lehessen beírni az oldalakat érintő kört. ‐ Ezzel a feladat megoldását befejeztük.
Aczél Gábor (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. II. o. t.) dolgozata, bizonyítással és diszkusszióval kiegészítve.
II. megoldás. Megszerkesztjük a beírt kör középpontját (2. ábra). Ezt ismerve megrajzolhatjuk -ot, mert az négyszög , oldalai ismertek, így pedig -t az -ból -hoz húzott második érintővel metszhetjük ki -ból. egyrészt rajta van az ismert szög felezőjén, úgyszintén és szögek felezőjén is. Másrészt az négyszögben | | A zárójelben a és szögek összegének fele áll, ez pedig , mert húrnégyszög, tehát a mondott szögek összege . Így ismert. Ezzel második mértani helyet kaptunk -ra. Ha ugyanis hegyesszög, akkor a számított szög nagyobb -nál, az négyszög konkáv, az háromszögben van, így a kisebb szög, -nek -ból vett látószöge , ismert, tehát az -nek nyílású látószögkörívén van, -nek -vel egyező oldalán. (A tény fennállását láthatjuk abból, hogy -nak középpontja az háromszögben van; -val együtt természetesen -t is adottnak tekinthetjük.) Ha tompaszög ( kívül van az háromszögön, a 2. ábrán ez az eset látható), akkor a fent számított szög tompaszög, ez adja -nek -ból vett látószögét. Ha végül derékszög ( rajta van az szakaszon), akkor -t az szög felezője kimetszi -ből, tükrös -re, és így a -nek -re vett tükörképe. Ekkor deltoid. Ezt az esetet tovább mellőzhetjük. Keressük meg az -t tartalmazó kör középpontját. Ez mindkét esetben -nek -val ellentétes partján van, mert a , ill. látószög tompaszög. Láttuk, hogy az -nek mindig ugyanazon oldalán van, mint , ezért mindig elválasztja -t -tól. -nek az szög szárai közti ívéhez -ban -nál nagyobb középponti szög tartozik, ezért a kisebb szög
Ezért az első esetben , tehát a -hoz -ban, pedig a -ben húzott érintő. ‐ Ugyanerre jutunk a második esetben is, mert (hegyesszög, ekkor azon az oldalán van -nek, mint ). Mindezek alapján -t a következő lépésekben kapjuk: meghúzzuk érintőjét -ban és -ben, metszéspontjuk ; körül sugárral megrajzoljuk a rövidebb ívet; megszerkesztjük az szög felezőjét; és metszéspontja . A szerkesztés helyességének bizonyítását és diszkusszióját hely hiányában ‐ az olvasóra bízzuk.
Szentai Judit (Budapest, Kanizsay D. lg. II. o. t.) dolgozata, kiegészítve megszerkesztésével.
Megyjegyzések. 1. Az érintőnégyszög oldalegyeneseit érintő kör eshet a négyszögön kívül is. Könnyen igazolható, hogy ilyenkor a négyszög valamelyik két szomszédos oldalának összege egyenlő a másik két oldal összegével. A 2. ábrán a négyszög negyedik csúcsa és . Ezt alakban írva és (1)-nek alakjával összehasonlítva csak annyi a változás, hogy a jobb oldalon és felcserélődött. Eszerint -t -nek felező merőlegesére való tükrözésével kapjuk ( esetén ilyen megoldás nincs).
3. ábra Ajánljuk az olvasóknak, járják végig mindkét megoldás gondolatmenetét erre az esetre is (l. az ábrákat). Hasonlóan tárgyalható a 3. ábra esete is, amikor .
4. ábra 2. Könnyen belátható, hogy ha -t az -nek -t nem tartalmazó partján úgy vesszük, hogy (4. ábra), akkor a hurkolt szimmetrikus húrnégyszöghöz két olyan kör is van, mely mind a négy oldalegyenest érinti. (Ugyancsak két érintő kör van a fenti , deltoid esetében is.) 3. A dolgozatok alig tartalmaznak bizonyítást és diszkussziót. Ezt a tanév adott időszakában az I. osztályosok részéről természetesnek vettük, a II. és III. osztályosok részéről viszont hiánynak minősítettük. (Az 1. és 2. megjegyzésben említett lehetőségek mellőzését nem tekintjük hiánynak.)
|
|