A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A bal oldal akkor és csak akkor valós, ha egyik négyzetgyökjel alatt sem áll negatív szám: | | (2) | Az egyenlőtlenséget alakban írva a (2) alatti -ekre egyik oldal sem negatív, ez az egyenlőtlenség akkor és csak akkor teljesül, amikor (1) is fennáll. Ezért a és 3 közti -ekre a négyzetre emeléssel és rendezéssel adódó egyenlőtlenséget kell megoldanunk. Itt a bal oldal nem lehet negatív. Ez újabb korlátozást ad -re: Ezen -ekre szorítkozva (3) újabb négyzetre emelésével, majd rendezéssel és gyöktényezőkre bontással
Ez akkor és csak akkor teljesül, ha mindkét különbség pozitív, vagy ha mindkettő negatív: Az első ellentmond (4)-nek, a második pedig (4)-nél erősebb korlátozást ad. Ezt (2)-vel egybevetve a keresett értékekre
Hegedűs Csaba (Nagykanizsa, Landler J. g. III. o. t.)
II. megoldás. A függvény a intervallumban bír értelemmel. A függvény növekedésével csökken. Ugyanis nagyobb számnak a négyzetgyöke is nagyobb, kisebbé kisebb, így ha növekszik, és vele együtt is csökken, és növekszik, tehát csökken, ennélfogva függvény mindkét összeadandója, s ezért az összeg is csökken. A helyen a függvény értéke 2, nagyobb -nél, így a feladat kérdésére válaszolhatunk úgy, hogy meghatározzuk azt az számot, amelyre a függvény az értéket veszi fel. Ekkor (1) azokra az értékekre teljesül, amelyekre . A egyenletből kétszeri négyzetre emeléssel és rendezésekkel sorra
Az (5) egyenletet csak ennek az egyenletnek a gyökei, vagyis az és értékek elégíthetik ki. Az előbbire (5) bal oldala negatív, hiszen az helyen 0, és láttuk, hogy növekedő -szel csökken. Az utóbbi helyen
Így az (5) egyenlet csak az értékre teljesülhet és arra teljesül is. A feladatban szereplő egyenlőtlenség tehát teljesül azokra az -ekre, amelyekre és más értékekre nem.
Horváth József (Esztergom, Temesvári Pelbárt g. III. o. t.)
|