|
Feladat: |
1960. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 23. feladata |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Békési Gábor , Goldperger Katalin , Knuth Előd |
Füzet: |
1961/október,
66 - 67. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Egyenes körkúpok, Beírt gömb, Egyenes körhengerek, Alakzatba írt kör, Térfogat, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Nevezetes azonosságok, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Trigonometriai azonosságok, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1960/november: 1960. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 23. feladata |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Legyen a kúp alapsugara , magassága , a gömb sugara . Így a kúp alkotója , a henger sugara , magassága . A kúp tengelymetszete egyenlő szárú háromszög, és a gömbből így kimetszett főkör a háromszög beírt köre, tehát a szokásos jelölésekkel | |
Így a kérdéses térfogatok aránya: | | Az aláhúzott részt -re vonatkozó egyenletnek tekintve és megoldva: | | (1) | Mivel nyilván pozitív, azért valós megoldás csak , azaz esetén van. Tehát lehetetlen, . Ezt kellett bizonyítanunk. A esetben (1)-ből , tehát a kúp csúcsának a gömb középpontjától való távolsága . A kívánt szöget úgy kapjuk, hogy egy tetszés szerinti sugarú körhöz egy a középponttól -nyire levő pontból meghúzzuk az érintőket és szögüket megfelezzük.
Békési Gábor (Ócsa, Bolyai J. g. IV. o. t.) |
II. megoldás. Legyen az alkotók hajlásszöge az alaphoz . Ekkor , , és így | | -ra akkor kapunk legkisebb értéket, ha itt a nevezőbeli szorzat a legnagyobb. Mivel , , azért a második tényező is pozitív. A tényezők összege állandó: 1, tehát a pozitív számok számtani és mértani közepének nagyságviszonyára ismert tétel szerint a szorzat a tényezők egyenlősége esetén a legnagyobb. -ből , , innen a keresett félnyílásszögre , , bármelyikből egyszerűen szerkeszthető.
Goldperger Katalin (Balassagyarmat, II. sz. g. IV. o. t.) | Megjegyzések. 1. A gömböt (és vele a hengert is) állandónak véve legyen , ekkor , , és így | | tehát , . Másrészt , tehát .
Knuth Előd (Budapest, I. István g. IV. o. t.) | 2. A gömb térfogata , azért a arány legkisebb értéke 2. Eszerint a kúpba írt gömb térfogata legfeljebb fele lehet a kúp térfogatának. A fenti szerkesztéssel éppen a maximumot adó félnyílásszöget adtuk meg.
|
|