A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A semmitmondó esetet figyelmen kívül hagyjuk, mert ekkor , és így sem , sem a jobb oldalon álló hányados nincs értelmezve. ‐ Legyen az átfogónak az felezőpontot tartalmazó szakasza úgy, hogy a pontok sorrendje az átfogón , , , , . Legyen és .
Mivel és az háromszögnek a alaphoz tartozó magassága , azért e háromszög területét kétféleképpen kifejezve | | Másrészt a koszinusz-tétellel | |
A összeget kifejezhetjük az adatokkal abból, hogy a részekre osztott átfogó középső szakaszát is felezi, tehát , másrészt, hogy . Legyen , ekkor , ezért az és háromszögekből a koszinusz-tétellel
tehát | | (1) | Most már folytatólag | |
Urbán László (Székesfehérvár, József A. g. IV. o. t.) | Megjegyzés. (1)-et abból is megkaphatjuk, hogy véve -nak -re vonatkozó tükörképét az négyszög paralelogramma, melynek oldalai és , átlói és , és így az 1006. feladat segédtétele szerint
Molnár Emil (Győr, Révai M. g. IV. o. t.) | II. megoldás. Legyen , , , vetülete az egyenesen , , végül vetülete -n . Ha az háromszög egyenlő szárú, akkor , , és az -be esik, , és , amiből | | ami az állításnak erre az esetre adódó egyszerűsödött alakja. Ha nem egyenlő szárú, akkor feltehetjük, hogy . Így hegyesszög, tehát az szakaszon, pedig -on van. Nyilvánvaló, hogy az és derékszögű háromszögek egybevágók, és így , , tehát a és derékszögű háromszögekből | | tehát
Másrészt az derékszögű háromszög hasonló -höz, mert -nél levő szögük közös, ezért | | ezt legutóbbi kifejezésébe helyettesítve az állítást kapjuk.
Kiss Ildikó (Budapest, Teleki Blanka lg. III. o. t.) | III. megoldás. Számíthatjuk -t különbségként is, pl. . Legyen , vetülete -re , ; ekkor a , derékszögű háromszögek hasonlók -höz, és átfogójuk a átfogó -edrészének -szöröse, ill. -szöröse ‐ ugyanis a és szakaszokba az -et tartalmazó szakasz elvételével megmaradt számú szakasz fele-fele jut ‐, tehát 3 P=AC=AC, Q=AC, B=A=AB, B=A=AB, hiszen egyenlő és egyirányú szakaszoknak ugyanazon egyenesre való vetületei egyenlők. Ezekkel
Végül figyelembe véve, hogy az szorzat az háromszög 2-szeres területét adja, ami az adatokkal kifejezve -val egyenlő, továbbá, hogy , -nak az állításban szereplő kifejezésére jutunk.
Sebestyén Mihály (Szolnok, Verseghy F. g. III. o. t.) | Megjegyzések. 1. Számos dolgozat -t az és szögek különbségeként számította, sokan mások pedig a külső szög tétele alapján mint az és szögek különbségét. Ha az és befogók közt elég nagy a különbség, vagy ha elég nagy szám, akkor és valóban ugyanazon oldalára esnek, és az előbb említett két szög különbsége. De szét is választhatja -t és -t. Némelyek erre is kitértek, -nek -hoz képest előjelet tulajdonítottak, hasonlóan az szöget forgásszögnek tekintették. Ezt a diszkussziót a III. megoldás elkerülte azzal, hogy a szögtartományon biztosan kívül eső irányt választotta alapiránynak. ‐ Az említett második számításmód mellett pedig gondolni kellett volna arra a lehetőségre is, ha éppen -be esik, és így az (ill. ) szög derékszög, tangense nincs értelmezve. 2. Az átfogó osztás pontjai közül csak és -t használtuk, és az számot is csak annyiban, hogy . Ezért nemcsak páratlan természetes szám lehet, hanem bármely 1-nél nagyobb pozitív szám. ( is lehet, vagyis . Szerk.) A kikötés csak az, hogy a szakasz tükrös legyen -re.
Kovács Imre (Békés, Szegedi Kis I. g. IV. o. t.) |
Lásd K. M. L. 21 (1960) 20. o. |