Kezdőlap


Feladat:	1959. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 13. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Székely Jenő , Timár Peregrin
Füzet:	1960/május, 162 - 164. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Trigonometrikus egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Trigonometriai azonosságok, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/október: 1959. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 13. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Az adott egyenlet ismeretlenét a keresett egyenlet ismeretlenével a következő azonosság kapcsolja össze:

\begin{matrix} cos x = \sqrt[]{\frac{1 + cos 2 x}{2}}, másképpen 2 {cos}^{2} x = 1 + cos 2 x, \end{matrix}

(2)

(ahol a négyzetgyök előjele külön állapítandó meg abból, hogy

x

hányadik negyedbe esik). Ezért a keresett egyenletet úgy kaphatjuk meg, hogy (2)-t behelyettesítjük (1)-be és a kapott egyenletből eltávolítjuk a négyzetgyököt. Ez az eljárás ugyanaz, mint ha kifejezzük (1)-ből

cos x

első hatványát az együtthatókkal és

{cos}^{2} x

-szel, ezt négyzetre emeljük és csak ezután helyettesítjük

{cos}^{2} x

-et (2) második azonossága alapján; így lépésről lépésre

\begin{matrix} - b & cos x = a {cos}^{2} x + c, \\ b^{2} & {cos}^{2} x = a^{2} {cos}^{4} x + 2 a c {cos}^{2} x + c^{2}, \\ \frac{b^{2} - 2 a c}{2} & (1 + cos 2 x) = \frac{a^{2}}{4} (1 + 2 cos 2 x + {cos}^{2} 2 x) + c^{2}, \end{matrix}

és a keresett egyenlet:

\begin{matrix} \frac{1}{4} a^{2} {cos}^{2} 2 x + \frac{1}{2} (a^{2} - b^{2} + 2 a c) cos 2 x + \frac{1}{4} (a^{2} + 4 a c + 4 c^{2} - 2 b^{2}) = 0. \end{matrix}

(3)

Az adott

a

b

c

számhármassal (1) és (3) így alakulnak:

\begin{matrix} 4 {cos}^{2} x + 2 cos x - 1 = 0, \end{matrix}

(1*)

\begin{matrix} 4 {cos}^{2} 2 x + 2 cos 2 x - 1 = 0, \end{matrix}

(3*)

ezek szerint

cos x

és

cos 2 x

ugyanannak az egyenletnek a gyökei. E meglepő ténynek az a magyarázata, hogy a két egyenlet közös

(- 1 \pm \sqrt[]{5}) / 4

gyökeiből

x

értékei a

({- 180}^{\circ}, 180^{\circ})

intervallumban

\begin{matrix} {- 144}^{\circ}, {- 72}^{\circ}, 72^{\circ}, 144^{\circ}, \end{matrix}

ezekből

2 x

értékei a

({- 360}^{\circ}, 360^{\circ})

, majd a

({- 180}^{\circ}, 180^{\circ})

intervallumban

\begin{matrix} {- 288}^{\circ}, {- 144}^{\circ}, 144^{\circ}, 288^{\circ}, azaz72^{\circ},{- 144}^{\circ},144^{\circ},{- 72}^{\circ}, \end{matrix}

így a két gyöknégyes csak a felsorolás sorrendjében különbözik.

Székely Jenő (Pécs, Nagy Lajos Gimn. III. o. t.)

II. megoldás: Legyenek (1) gyökei

{(cos x)}_{1} = z_{1}

{(cos x)}_{2} = z_{2}

, a keresett

\begin{matrix} A {cos}^{2} 2 x + B cos 2 x + C = 0 \end{matrix}

(4)

egyenlet gyökei pedig

{(cos 2 x)}_{1} = w_{1}

{(cos 2 x)}_{2} = w_{2}

. Így (2) alapján

\begin{matrix} z^{2} = \frac{1 + w}{2}, amiből w_{1} = 2 z_{1}^{2} - 1, w_{2} = 2 z_{2}^{2} - 1. \end{matrix}

(5)

Ezekkel az együtthatókat a gyökökből előállító kifejezések szerint

\begin{matrix} - & \frac{B}{A} = w_{1} + w_{2} = 2 (z_{1}^{2} + z_{2}^{2}) - 2 = [2 {(z_{1} + z_{2})}^{2} - 2 z_{1} z_{2}] - 2, \\ \frac{C}{A} = w_{1} w_{2} = 4 z_{1}^{2} \cdot z_{2}^{2} - 2 (z_{1}^{2} + z_{2}^{2}) + 1 = 4 z_{1}^{2} \cdot z_{2}^{2} - 2 {(z_{1} + z_{2})}^{2} + 4 z_{1} z_{2} + 1, \end{matrix}

és mivel

z_{1} + z_{2} = - b / a

, és

z_{1} z_{2} = c / a

, azért

\begin{matrix} - \frac{B}{A} = \frac{2 b^{2}}{a^{2}} - \frac{4 c}{a} - 2 = \frac{2 b^{2} - 4 a c - 2 a^{2}}{a^{2}}, & (6) \\ \frac{C}{A} = \frac{a^{2} + 4 a c + 4 c^{2} - 2 b^{2}}{a^{2}} . \end{matrix}

Ezekkel,

A

-t

a^{2} / 4

-nek választva (4)-ből ismét (3)-ra jutunk.

Timár Peregrin (Budapest, Eötvös J. Gimn. IV. o. t.)

Megjegyzések. 1. Többen megvizsgálták, hogy (1)-nek mely

a

b

c

értékrendszerek mellett van (valós) megoldása, vagyis olyan, hogy a fenti jelölésekkel a

z_{1,2} = (- b \pm \sqrt[]{b^{2} - 4 a c}) / 2 a

gyökök

- 1

és

1

közé esnek, e határokat is megengedve, és így van olyan

x

szög, amelyre (1) teljesül. Ebben feltehetjük, hogy

a > 0

. ‐ Mindenekelőtt teljesülnie kell a

\begin{matrix} b^{2} - 4 a c \geq 0 \end{matrix}

(7)

egyenlőtlenségnek, mert

z_{1}

és

z_{2}

csak így valósak. Ez azt jelenti, hogy (1) bal oldalát

cos x = z

függvényének tekintve az

y = a z^{2} + b z + c

függvény grafikonjának legmélyebb pontja a

Z

-tengely (az abszcisszatengely) alatt, vagy magán a tengelyen fekszik. Ugyanis a szimmetria folytán a legmélyebb pont abszcisszája a zérushelyek (gyökök) számtani közepe

z_{0} = (z_{1} + z_{2}) / 2 = - b / 2 a

, és így ordinátája:

a {(- b / 2 a)}^{2} + b (- b / 2 a) + c = - (b^{2} - 4 a c) / 4 a

, ami (7) szerint negatív, vagy

0

.
Mindkét gyök akkor és csak akkor esik

- 1

és

1

közé, ha egyrészt

z_{0}

e határok közé esik:

\begin{matrix} - 1 < - b / 2 a < 1, másképpen - 2 a < - b < 2 a, | b | < 2 a, \end{matrix}

(8)

továbbá a kisebb gyök nagyobb

- 1

-nél, és a nagyobb gyök kisebb

1

-nél:

\begin{matrix} - 1 < \frac{- b - \sqrt[]{b^{2} - 4 a c}}{2 a} és \frac{- b + \sqrt[]{b^{2} - 4 a c}}{2 a} < 1. \end{matrix}

Ezekből rendezéssel és négyzetre emeléssel (figyelemmel arra, hogy ha mindkét oldal negatív, akkor négyzetre emelés után az egyenlőtlenség iránya ellentétesre fordul):

\begin{matrix} 4 a^{2} - 4 a b + b^{2} > b^{2} - 4 a c, b^{2} - 4 a c < 4 a^{2} + 4 a b + b^{2} . \end{matrix}

Végül újabb rendezéssel és osztással:

\begin{matrix} a - b + c > 0, (9') ill. a + b + c > 0, (9 ") \end{matrix}

(

9'

) és (

9''

) azt írják elő, hogy az

f (z)

függvény értéke a

z = - 1

, ill.

z = 1

helyen pozitív legyen, vagyis a parabola szemléletére támaszkodva a

(- 1; a - b + c)

és

(1; a + b + c)

pontok mindegyike az

X

-tengely fölött legyen.
Ha már most (7), (8), (

9'

) és (

9''

) teljesülnek, vagyis

z_{1}

és

z_{2}

valósak és

- 1

és

1

közé esnek, akkor (5) alapján ugyanezek állnak

w_{1}

és

w_{2}

-re. Nyilvánvaló ugyanis, hogy így

w_{1}

és

w_{2}

valósak, és ha

i = 1,2

esetén

\begin{matrix} - 1 < z_{i} < 1, azaz 0 \leq | z_{i} | < 1, \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} 0 \leq z_{i}^{2} < 1, 0 \leq 2 z_{i}^{2} < 2, és - 1 \leq 2 z_{i}^{2} - 1 = w_{i} < 1. \end{matrix}

Mindez úgy is bizonyítható, hogy (7), (8), (

9'

) és (

9''

)-ben

a

b

c

helyére

A

B

C

-t írunk és az így kapott egyenlőtlenségek helyes voltának bizonyítására felhasználjuk (6), (7), (8), (

9'

) és (

9''

)-t.
Ezek után könnyen kapunk feltételt arra, hogy (1)-nek pontosan egy gyöke essék

- 1

és

1

közé. A könnyen megállapítható

z = \pm 1

gyököt kizárva ‐ ekkor ugyanis (

9'

), ill. (

9''

) bal oldala

0

‐ ennek szükséges és elegendő feltétele az, hogy

f (- 1)

és

f (1)

, azaz (

9'

) és (

9''

) bal oldala ellentett jelűek legyenek, vagyis szorzatuk negatív:

\begin{matrix} {(a + c)}^{2} - b^{2} < 0. \end{matrix}

(Ebből ugyanis átrendezéssel

b^{2} - 4 a c > {(a - c)}^{2} \geq 0

következik, vagyis (7) fennáll, (8) megfelelőjére pedig nincs szükség.)
2. Az (1) egyenlet helyett (3)-ból (esetleg az átalakítás ismétlésével

cos 4 x, cos 8 x, ...

-re felírt egyenletből)

x

-et pontosabban határozhatjuk meg az olyan esetekben, ha a koszinusz-függvény

2 x

környezetében gyorsabban változik, mint

x

környezetében. Legyen pl.

x

egy a

10^{\circ}

körüli érték. A táblázat egymás utáni adatai között

20^{\circ}

körül nagyobbak az eltérések (a táblabeli különbségek), mint

10^{\circ}

körül, ezért az interpoláció pontosabban, kisebb hibával végezhető, sőt a kisebb hiba még feleződik is, amikor

2 x

-ből

x

-et számítjuk. Még jobbnak látszik e példában

4 x

8 x

-et kiszámítani

40^{\circ}

80^{\circ}

környezetében, ahol a koszinusz függvény a leggyorsabban változik. Viszont nem célszerű

16 x

-et számítani, mert

160^{\circ}

körül a koszinusz ismét lassan változik. Azonban

x

körülbelüli értékét (1)-ből meg kell állapítanunk, mert (3)-nak kétszer annyi gyöke van, mint (1)-nek. Pl. a fenti számpéldában

\begin{matrix} 2 x = \pm 72^{\circ} és \pm 432^{\circ}, \pm 144^{\circ} és \pm 504^{\circ}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} x = \pm 36^{\circ}, \pm 216^{\circ}, \pm 72^{\circ} \pm 252^{\circ}, \end{matrix}

és ezek közül az eredeti egyenletet csak a

2

-ik és

3

-ik pár elégíti ki.
Az eljárás gyakorlati alkalmazásában természetesen arra is tekintettel kell lennünk, hogyha

a

b

c

kerekített adatok, akkor a (6)-ból adódó

B

C

együtthatók hibája nagyobb lehet. Másrészt előfordulhat, hogy

cos x_{1}

helyett

cos 2 x_{1}

célszerűbb, mert abszolút értékben kisebb, viszont

| cos 2 x_{2} |

nagyobb

| cos x_{2} |

-nél, és így

2 x_{2}

kevésbé pontosan állapítható meg, mint

x_{2}