A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: A három kérdés megválaszolásának előkészítéséül vizsgáljuk az kifejezésnek mint függvényének értékét, a megjegyzésnek megfelelően minden négyzetgyökvonásban a gyök abszolút értékét véve. A belső négyzetgyök értéke akkor valós szám, ha , . Ilyen -ekre mindkét (nagy) négyzetgyök valós számot ad, mert az első alatt két nem negatív szám összege áll, a másodikban pedig a kisebbítendő és a kivonandó négyzetének különbségét vizsgálva, ha , akkor , és mivel az alapok pozitívok, így azokra Az egyenlőségi jel esetére érvényes. Mivel a két gyökjel alatti kifejezés egymásnak ún. konjugáltja, azért kifejezésünk négyzete egyszerűbbnek ígérkezik. Valóban, összevonás után | |
Már most esetére negatív vagy , így , ezért , ennélfogva , állandó. esetére pedig pozitív, így , tehát , ennélfogva . Ezek szerint az a) egyenlőség az , értékekre, más szóval az zárt intervallumban teljesül, másutt nem; a b) egyenlőség sehol sem teljesül, ez olyan egyenlet, amelynek nincs gyöke, mert a kifejezés értéke az helyen , és növekedtével növekszik, tehát , ha ; végül a c) egyenlőség egyenlet, melynek gyöke , az egyenlőség ezen egyetlen érték mellett érvényes.
Klimó János (Kaposvár, közg. t. IV. o. t.) |
II. megoldás: A bal oldalak egyszerűbbé tételére alkalmazzuk a helyettesítést. A négyzetgyök értékére tett megállapodásunknak megfelelően csak nem negatív értékeit kell figyelembe vennünk. Kifejezve -et -vel , tehát (1) a helyettesítéssel így alakul:
(A zárójel első tagjában az abszolút érték jelét mindjárt mellőzhettük, mert .) Innen a fentiekhez hasonlóan
(lásd a grafikont). Ezek szerint az a) egyenlőség mindazon x-ekre teljesül, amelyeket a 0≦z≦1-et teljesítő z értékek adnak meg; ezekből x=(z2+1)/2-re tekintettel 0≦z2≦1, így 1≦z2+1≦2 és 1/2≦x≦1; a b) egyenlőség semmilyen z-re és így semmilyen x-re sem teljesül, mert z≧1 mellett a bal oldal értéke: y=2z≧2>1; a c) egyenlőség pedig 2z=2-ből z=2-vel, és ennélfogva x=(2+1)/2=3/2 mellett teljesül.
Holop András (Budapest, Petőfi S. g. IV. o. t.) | Megjegyzés. Több a II. megoldáshoz hasonló dolgozat nem zárta ki a z<0 értékeket, ezért az alakból tetszetősebb grafikonhoz jutott, amely a fentin kívül az Y-tengelyre való tükörképét is tartalmazza, és így rajzzal a gimnáziumi IV. osztályos tankönyvből ismert módon magyarázza y-nak a középső intervallumbeli állandóságát.
|