Kezdőlap


Feladat:	1959. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 11. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bolváry Gábor , Cziráki Tamás , Lajos Judit
Füzet:	1960/április, 134 - 135. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Legnagyobb közös osztó, Euklideszi algoritmus, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/október: 1959. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 11. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Írjuk az adott törtet

\begin{matrix} \frac{21 n + 4}{14 n + 3} = 1 + \frac{7 n + 1}{14 n + 3} \end{matrix}

alakban. Ha a jobb oldalon álló vegyes szám (valódi) tört része egyszerűsíthető, akkor a bal oldalon álló is, különben pedig nem. És ha a tört rész egyszerűsíthető, akkor a fordított értéke is. Az így írható:

\begin{matrix} \frac{14 n + 3}{7 n + 1} = 2 + \frac{1}{7 n + 1} . \end{matrix}

Az új tört számlálója 1. Az ilyen törtek nem egyszerűsíthetők, tehát az eredeti tört sem.

Lajos Judit (Szeged, Petőfi telepi I. sz. ált. isk; VII. o. t.)

Megjegyzés. A megoldásban használt eljárás tulajdonképpen az ún. Eukleidész-féle algoritmus (műveletsorozat) két szám (betűkifejezés) legnagyobb közös osztójának meghatározására.

Cziráki Tamás (Pécs, Zipernovszky K. gépip. t. I. o. t.)

II. megoldás: Tegyük fel, hogy a tört egyszerűsíthető a számláló és nevező valamely (1-nél nagyobb)

d

közös osztójával, vagyis van olyan

K_{1}, K_{2}

(pozitív) egész szám, amellyel

\begin{matrix} 21 n + 4 = K_{1} d, 14 n + 3 = K_{2} d . \end{matrix}

Vonjuk ki a második egyenlőség 3-szorosából az első egyenlőség 2-szeresét; a jobb oldalon

d

kiemelésével

\begin{matrix} (42 n + 9) - (42 n + 8) = 1 = d (3 K_{2} - 2 K_{1}) . \end{matrix}

Itt

3 K_{2} - 2 K_{1}

is egész, ezért az egyenlőség csak

d = 1

-gyel (vagy

d = - 1

-gyel) állhat fenn, a tört nem egyszerűsíthető.

Bolváry Gábor (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. I. o. t.)