Kezdőlap


Feladat:	1966. évi Matematika OKTV II. forduló 3. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1967/február, 54 - 55. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tizes alapú számrendszer, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), OKTV
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/február: 1966. évi Matematika OKTV II. forduló 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$a)$ Legyen a keresett szám $x$ , a nála $d$ -vel kisebb szám $y$ , és $x^{2}$ számjegyeinek száma $k$ . Jelöljük a $k$ darab $1$ -essel felírt számot $C$ -vel, ekkor a feladat szerint

\begin{matrix} x^{2} - y^{2} = d \cdot C, (1) x - y = d . (2) \end{matrix}

A bal oldalon

x^{2} - y^{2} = (x - y) \cdot (x + y) = d (x + y)

, tehát

d (x + y) = d \cdot C

, amit

d

-vel osztva

(d > 0)

\begin{matrix} x + y = C . \end{matrix}

(3)

Így

x > y

miatt

2 x > C

, azaz

4 x^{2} > C^{2}

. Viszont

x^{2}

és

C

jegyeinek száma

k

, ezért

C ≧ 10^{k - 1}

C^{2} ≧ 102^{k - 2}

, és

10 k > x^{2}

, tehát

\begin{matrix} 4 \cdot 10^{k} > 4 x^{2} > C^{2} ≧ 10^{2 k - 2} . \end{matrix}

A két szélső tagból kapott egyenlőtlenség alapján

4 > 10^{k - 2}

, amiből következik, hogy

k ≦ 2

. Nem lehet azonban

k = 1

, mert

C = x + y > 1

, tehát

k = 2

C = 11

, és

x^{2}

kétjegyű szám, tehát

x

egyjegyű. Mivel így

x + y = 11

, azért

10 > x > y

, és (2)-re is tekintettel

x

y

és

d

szóba jövő értékei:

\begin{matrix} x= & 6, & 7, & 8, & 9, \\ y= & 5, & 4, & 3, & 2, \\ d= & 1, & 3, & 5, & 7. \end{matrix}

Ezekkel

\begin{matrix} x^{2}= & 36, & 49, & 64, & 81, \\ y^{2}= & 25, & 16, & 9, & 4. \end{matrix}

A harmadik és negyedik értékrendszer esetében

x^{2}

második számjegye kisebb

d

-nél, ezek nem megoldásai a feladatnak. Az első két értékrendszer a feladat minden követelményét kielégíti, a keresett számok tehát

6

és

7

b)

Legyen a számrendszer alapszáma

a

. Az előző meggondolások egy részét átvehetjük, a többjegyű számokat az

a

-alapú számrendszerben értve. (1), (2) és (3) továbbra is érvényes, és a

4 > 10^{k - 2} = {(1 \cdot a + 0)}^{k - 2}

egyenlőtlenség is érvényes marad, tehát

\begin{matrix} a^{k - 2} < 4, \end{matrix}

(4)

és

k > 1

, hiszen

C = x + y > 1

is változatlanul fennáll.
Nem lehet

a

sem

2

, sem

3

. Ugyanis a

d

számjegy

a - 1

-nél kisebb, mert különben

x^{2}

-ből az ugyanannyi

a - 1

jegyből álló számot levonva nem kaphatunk pozitív maradékot. Ilyen pozitív

d

nincs, ha

a = 2

; az

a = 3

esetben pedig

d

csak

1

lehetne. Ekkor a (3)-ból és (2)-ből adódó

\begin{matrix} x = \frac{C + d}{2} \end{matrix}

összefüggés szerint

C

páratlan, így

k

értéke nem lehet

2

, tehát (4)-et figyelembe véve

k = 3

, így

x = 7

, és

7^{2}

3

-alapú számrendszerben már több mint

3

-jegyű.
Minden

a ≧ 4

alapszám esetében (4) alapján

k ≦ 2

, tehát

k = 2

C = a + 1

és

x^{2}

kétjegyű, ezért

x^{2} < a^{2}

x

egyjegyű, azaz

x < a

\begin{matrix} x + y = a + 1 \end{matrix}

(5)

és

x > y

alapján

y

szóba jövő értékei

2

3

4

...

a_{0}

, ahol

a_{0}

az a legnagyobb egész szám, amelyre még

a_{0} < a + 1 - a_{0}

, azaz

2 a_{0} < a + 1

.
Ha

a

páros,

a = 2 u

, akkor

a_{0} = u = \frac{a}{2}

, ha

a

páratlan,

a = 2 u + 1

, akkor

a_{0} = u = \frac{a - 1}{2}

, tehát

a_{0}

mindenképpen az a legnagyobb egész szám, amelyik még nem nagyobb

\frac{a}{2}

-nél, a szokásos jelöléssel

a_{0} = [\frac{a}{2}]

.
Minden ilyen

y

esetén

x = a + 1 - y

és

d = x - y = a + 1 - 2 y

kielégíti (1)-et és (2)-t, továbbá

x^{2}

kétjegyű, hiszen

x > \frac{C}{2} > \frac{a}{2}

miatt

\begin{matrix} x^{2} > \frac{a^{2}}{a} ≧ a . \end{matrix}

x

y

d

számhármasok akkor megoldásai feladatunknak, ha

x^{2}

mindkét számjegye külön-külön

d

-vel nagyobb

y^{2}

megfelelő jegyénél. Ha ez a feltétel a második jegyekre teljesül, vagyis az

\begin{matrix} x^{2} = y^{2} d C = y^{2} + (d + a d) \end{matrix}

összeadást jegyenként végezve (először a

d

, majd az

a d

tagot adva hozzá)

y^{2} + d

első számjegye ugyanaz, mint

y^{2}

első jegye, akkor teljesül az első jegyekre is. Így ugyanis nem viszünk át maradékot, az

a d

tag az

y^{2}

-nek

a

helyi értékű jegyét növeli

d

-vel, és

x^{2}

első jegyét adja, mert itt nem lehet maradékátvitel, hiszen

x^{2} < a^{2}

.
A második jegyek nagyságviszonyának vizsgálatát megkönnyíti a következő észrevétel: Legyen

z = y - 1

, ekkor

x^{2}

és

z^{2}

második számjegye megegyezik, hiszen így

x + z = a

, tehát

x^{2} - z^{2} = (x + z) \cdot (x - z) = a (x - z)

, különbségük osztható

a

-val. Elegendő tehát azoknak az

y

-értékeknek a számát meghatározni, melyek négyzetének második jegye kisebb a náluk

1

-gyel kisebb

z

szám négyzetének második jegyénél. Ez

z < y

miatt csak úgy lehetséges, hogy

z^{2}

első jegye kisebb

y^{2}

első jegyénél, mégpedig pontosan

1

-gyel, hiszen

y^{2} - z^{2} = y + z = 2 y - 1 < x + y - 1 = a

.
Eszerint az

y = 2,3, ..., a_{0}

számok négyzetében első jegyként minden számjegy előfordul

a_{0}^{2}

első jegyéig (

a > 4

esetén

0

is), és minden előforduló kezdő számjegyhez pontosan

1

megfelelő

y

-érték tartozik, mégpedig a legkisebb azok közül a számok közül, amelyeknek négyzete az illető számjeggyel kezdődik. Ha

y^{2}

első számjegye

0

, akkor

y

-hoz nem tartozik megoldása a feladatnak, hiszen ekkor a

z = y - 1 ≧ 1

szám négyzetének második számjegye mindig kisebb

y^{2}

második jegyénél. Így a feladatnak megfelelő

y

-értékek (és

x

y

d

értékrendszerek) száma egyenlő

a_{0}^{2}

első számjegyével. Ezt megadja az

a_{0}^{2} : a

hányados egész része, tehát a megoldások száma

\begin{matrix} [\frac{1}{a} a_{0}^{2}] = [\frac{1}{a} {[\frac{a}{2}]}^{2}] . \end{matrix}

Eredményünk megfelel az

a)

részben kapott eredményünknek, hiszen

a = 10

esetén

a_{0} = 5

, és

a_{0}^{2}

első jegye

2