A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen a keresett szám , a nála -vel kisebb szám , és számjegyeinek száma . Jelöljük a darab -essel felírt számot -vel, ekkor a feladat szerint A bal oldalon , tehát , amit -vel osztva Így miatt , azaz . Viszont és jegyeinek száma , ezért , , és , tehát A két szélső tagból kapott egyenlőtlenség alapján , amiből következik, hogy . Nem lehet azonban , mert , tehát , , és kétjegyű szám, tehát egyjegyű. Mivel így , azért , és (2)-re is tekintettel , és szóba jövő értékei:
Ezekkel
A harmadik és negyedik értékrendszer esetében x2 második számjegye kisebb d-nél, ezek nem megoldásai a feladatnak. Az első két értékrendszer a feladat minden követelményét kielégíti, a keresett számok tehát 6 és 7. b) Legyen a számrendszer alapszáma a. Az előző meggondolások egy részét átvehetjük, a többjegyű számokat az a-alapú számrendszerben értve. (1), (2) és (3) továbbra is érvényes, és a 4>10k-2=(1⋅a+0)k-2 egyenlőtlenség is érvényes marad, tehát és k>1, hiszen C=x+y>1 is változatlanul fennáll. Nem lehet a sem 2, sem 3. Ugyanis a d számjegy a-1-nél kisebb, mert különben x2-ből az ugyanannyi a-1 jegyből álló számot levonva nem kaphatunk pozitív maradékot. Ilyen pozitív d nincs, ha a=2; az a=3 esetben pedig d csak 1 lehetne. Ekkor a (3)-ból és (2)-ből adódó összefüggés szerint C páratlan, így k értéke nem lehet 2, tehát (4)-et figyelembe véve k=3, így x=7, és 72 a 3-alapú számrendszerben már több mint 3-jegyű. Minden a≧4 alapszám esetében (4) alapján k≦2, tehát k=2, C=a+1 és x2 kétjegyű, ezért x2<a2, x egyjegyű, azaz x<a. és x>y alapján y szóba jövő értékei 2, 3, 4, ..., a0, ahol a0 az a legnagyobb egész szám, amelyre még a0<a+1-a0, azaz 2a0<a+1. Ha a páros, a=2u, akkor a0=u=a2, ha a páratlan, a=2u+1, akkor a0=u=a-12, tehát a0 mindenképpen az a legnagyobb egész szám, amelyik még nem nagyobb a2-nél, a szokásos jelöléssel a0=[a2]. Minden ilyen y esetén x=a+1-y és d=x-y=a+1-2y kielégíti (1)-et és (2)-t, továbbá x2 kétjegyű, hiszen x>C2>a2 miatt Az x, y, d számhármasok akkor megoldásai feladatunknak, ha x2 mindkét számjegye külön-külön d-vel nagyobb y2 megfelelő jegyénél. Ha ez a feltétel a második jegyekre teljesül, vagyis az összeadást jegyenként végezve (először a d, majd az ad tagot adva hozzá) y2+d első számjegye ugyanaz, mint y2 első jegye, akkor teljesül az első jegyekre is. Így ugyanis nem viszünk át maradékot, az ad tag az y2-nek a helyi értékű jegyét növeli d-vel, és x2 első jegyét adja, mert itt nem lehet maradékátvitel, hiszen x2<a2. A második jegyek nagyságviszonyának vizsgálatát megkönnyíti a következő észrevétel: Legyen z=y-1, ekkor x2 és z2 második számjegye megegyezik, hiszen így x+z=a, tehát x2-z2=(x+z)⋅(x-z)=a(x-z), különbségük osztható a-val. Elegendő tehát azoknak az y-értékeknek a számát meghatározni, melyek négyzetének második jegye kisebb a náluk 1-gyel kisebb z szám négyzetének második jegyénél. Ez z<y miatt csak úgy lehetséges, hogy z2 első jegye kisebb y2 első jegyénél, mégpedig pontosan 1-gyel, hiszen y2-z2=y+z=2y-1<x+y-1=a. Eszerint az y=2,3,...,a0 számok négyzetében első jegyként minden számjegy előfordul a02 első jegyéig (a>4 esetén 0 is), és minden előforduló kezdő számjegyhez pontosan 1 megfelelő y-érték tartozik, mégpedig a legkisebb azok közül a számok közül, amelyeknek négyzete az illető számjeggyel kezdődik. Ha y2 első számjegye 0, akkor y-hoz nem tartozik megoldása a feladatnak, hiszen ekkor a z=y-1≧1 szám négyzetének második számjegye mindig kisebb y2 második jegyénél. Így a feladatnak megfelelő y-értékek (és x, y, d értékrendszerek) száma egyenlő a02 első számjegyével. Ezt megadja az a02:a hányados egész része, tehát a megoldások száma Eredményünk megfelel az a) részben kapott eredményünknek, hiszen a=10 esetén a0=5, és a02 első jegye 2. |