A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen a szóban forgó egyenlet A feladat állítása így fogalmazható: egy olyan tört ( és egész), amelynek nevezője páratlan, nem lehet gyöke az egyenletnek. Helyettesítsünk a bal oldalba -t és hozzunk közös nevezőre. Így a törtet kapjuk. Ha páratlan, akkor a számláló második tagja páratlan, az első viszont páros, mert vagy páros, vagy ha páratlan, akkor , és itt és páros, tehát a mondott tag értéke is az. Így a számláló páratlan, tehát nem lehet , és vele együtt a tört sem. Ezt akartuk bizonyítani.
Megjegyzések. 1. Az utolsó átalakításból az is látható, hogy ha nem egyszerűsíthető tört, és gyöke az egyenletnek, és páros, akkor -nek (s így -nak is) párosnak kell lennie; tehát ha egy egész együtthatós másodfokú egyenlet együtthatói páratlanok, akkor nincs racionális gyöke. 2. A egyenlet pl., amelynek gyökei és , mutatja, hogy a feladat feltételei mellett lehet racionális gyöke az egyenletnek. 3. A feladat állítása a következőképpen általánosítható: Ha egy -ed fokú egész együtthatós egyenletben ( természetes szám) az ismeretlent tartalmazó tagok együtthatóinak összege páros, az ismeretlent nem tartalmazó tag pedig páratlan, akkor az egyenlet racionális gyöke csak olyan tört lehet, amelynek legegyszerűbb alakjában a nevező páros. A tétel a fenti megoldáshoz hasonlóan bizonyítható. Ennek bizonyítása volt az 1961. évi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny II. fordulójának 1. feladata, lásd a megoldást K.M.L. 24. (1962)1‐2. o. |