A megoldások során a következő jelöléseket fogjuk használni: A járművek sebességét ‐ mint az ilyen feladatoknál ez szokásos ‐ állandónak tételezve fel, legyen a tehergépkocsi sebessége $v$, a személygépkocsi sebessége $V$, $A$ és $B$ távolsága $s$, a hazaérkezés közös időpontja $x$.

V(t2-t1) utat tett meg, és ekkor mindegyik előtt annyi út állt, mint amennyit a másik már megtett. A tehergépkocsi a hátralevő útját $\frac{V\left(t_2-t_1\right)}{v}$ idő, a személygépkocsi $\frac{v{t}_2}{V}$ idő alatt teszi meg, de ez utóbbi $r$ órával később ér célba, ezért

$\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{V\left(t_2-t_1\right)}{v}+r=\frac{v{t}_2}{V}\mathrm{.}}\end{array}$

2. Hasonló gondolatmenettel $x$ is meghatározható. A visszaindulástól a második találkozásig a tehergépkocsi a személygépkocsi előtt álló $V\left(x-t_3\right)$ utat tette meg. Ehhez $\frac{V\left(x-t_3\right)}{v}$ időre volt szüksége. Hasonlóan a személygépkocsi a találkozás előtt $\frac{v\left(x-t_3\right)}{V}$ idővel indult vissza. Ennek a két időnek a különbsége egyben az egész út megtételéhez szükséges idők különbsége is. Az odamenetre vonatkozó adatok szerint ez az időkülönbség $t_1-r$, azaz

$\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{V\left(x-t_3\right)}{v}-\frac{v\left(x-t_3\right)}{V}=t_1-r\mathrm{,}}\end{array}$

amiből $x$ a $v/V$ hányados ismeretében kiszámítható.

 

II. megoldás. Legyen az első találkozás helye $C$. A személygépkocsi és a tehergépkocsi menetidőinek aránya az $AB$ úton ugyanaz, mint az $AC$ úton. Legyenek a menetidők az $AB$ úton $T$, illetőleg $t$, így

$\begin{array}{c}{\displaystyle T:t=\left(t_2-t_1\right):\left(t-t_2\right)}\end{array}$

Másrészt láttuk, hogy

$\begin{array}{c}{\displaystyle t-T=t_1-r\mathrm{.}}\end{array}$

$T$ kiküszöbölésével

$\begin{array}{c}{\displaystyle t^2-\left(2t_2-r\right)t+t_2\left(t_1-r\right)=\mathrm{0,}}\end{array}$

ahonnan a nagyobbik gyök

$\begin{array}{c}{\displaystyle t=t_2+\frac{1}{2}\left(-r+\sqrt[]{r^2+4t_2\left(t_2-t_1\right)}\right)}\end{array}$

(ugyanis nyilvánvalóan $t>t_2$, a másik gyök nem adhatja a feladat megoldását).
Most már kiszámíthatjuk a második találkozástól a hazaérkezésig eltelt $x-t_3$ időt. Ennyi idő alatt a teherautó az egész út $\left(x-t_3\right)/t$ részét, a személyautó az $\left(x-t_3\right)/T$ részét teszi meg, a kettő együtt az egész utat ‐ az út 1-szeresét ‐ adja, azaz
${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \frac{x-t_3}{t}+\frac{x-t_3}{T}=\mathrm{1,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x=t_3+\frac{1}{\frac{1}{t}+\frac{1}{T}}=t_3+\frac{t}{1+\frac{t-t_2}{t_2-t_1}}=t_3+\frac{t\left(t_2-t_1\right)}{t-t_1}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$


A numerikus adatokkal $t=6$, $x=16\mathrm{,}4$ adódik.

 

III. megoldás. Megoldhatjuk a feladatot a mozgások idő‐út grafikonjának vázlatára támaszkodó számítással is.

 

1. ábra

 

Mindegyik autó oda vissza útját (külön-külön) egyenlő hajlású szakaszok ábrázolják, ezért végpontjaik, valamint a találkozásokat jelentő pontok közül alkalmasan választott ponthármasok hasonló háromszögeket határoznak meg, és ezek alapjából a találkozási pontok vetületei arányos részeket vágnak le. Az 1. ábra jelöléseivel

$\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{B_1{B}_2}{B_1{B}_3}=\frac{A_2{A}_1}{A_{2}A}=\frac{B_7{B}_6}{B_7{B}_5}=\frac{B_7{B}_6}{B{B}_3}\mathrm{.}}\end{array}$

 

 

1. ábra

 

Legyen $A_1{A}_2=u$ az az idő, amennyivel az első találkozás után a személyautó $A$-ba érkezik. Ezt mint az első két hányados egyenlőségéből adódó másodfokú egyenlet pozitív gyökét kapjuk:

${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle \frac{t_2-t_1}{t_2+u-r-t_1}=\frac{u}{t_2+u}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle u^2-ru-t_2\left(t_2-t_1\right)=\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle u-\frac{1}{2}\left(r+\sqrt[]{r^2+4t_2\left(t_2-t_1\right)}\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$

Ennek alapján a keresett időpont a negyedik és a második hányados egyenlőségéből adódik:
${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \frac{x-t_3}{t_2+u-r}=\frac{u}{t_2+u}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x=t_3+u\frac{t_2+u-r}{t_2+u}=t_3+u\left(1-\frac{r}{t_2+u}\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$


Numerikusan $u=8/3$ óra, és $x=16\mathrm{,}4$ óra.