Kezdőlap


Feladat:	1965. évi Matematika OKTV I. forduló 1. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1965/november, 97 - 98. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paraméteres egyenletrendszerek, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenség-rendszerek, OKTV
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/november: 1965. évi Matematika OKTV I. forduló 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Adjuk hozzá az első egyenlethez a második egyenlet 3-szorosát, így a bal oldal ${(x + y)}^{3}$ lesz. Ebből köbgyökvonással

\begin{matrix} x + y = \sqrt[3]{a + 3 b}, \end{matrix}

(1)

majd ezt a második egyenletbe helyettesítve osztással

\begin{matrix} x y = \frac{b}{\sqrt[3]{a + 3 b}}, \end{matrix}

hacsak

a + 3 b \neq 0

. Szorítkozzunk egyelőre erre az esetre. Feltételünk mellett

x + y

és

x y

mindig léteznek és egyértelműen meghatározott értékek, mert a köbgyökvonás a valós számok körében mindig elvégezhető és egyértelmű. Legyen

\begin{matrix} \sqrt[3]{a + 3 b} = B és b / B = C, \end{matrix}

ekkor

x

és

y

a következő egyenlet két gyöke:

\begin{matrix} z^{2} - B z + C = 0, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} \frac{1}{2} (B + \sqrt[]{B^{2} - 4 C}) és \frac{1}{2} (B - \sqrt[]{B^{2} - 4 C}), \end{matrix}

bármelyik sorrendben véve. A diszkriminánst

a

-val és

b

-vel kifejezve

\begin{matrix} B^{2} - 4 C = \frac{1}{B} (B^{3} - 4 B C) = \frac{1}{\sqrt[3]{a + 3 b}} (a + 3 b - 4 b) = \frac{a - b}{\sqrt[3]{a + 3 b}}, \end{matrix}

így a gyökök

\begin{matrix} \frac{1}{2} (\sqrt[3]{a + 3 b} + \sqrt[]{\frac{a - b}{\sqrt[3]{a + 3 b}}}) és \frac{1}{2} (\sqrt[3]{a + 3 b} - \sqrt[]{\frac{a - b}{\sqrt[3]{a + 3 b}}}) \end{matrix}

(2)

x

és

y

akkor valósak, ha a négyzetgyök alatt pozitív szám vagy nulla áll. A négyzetgyök alatti tört értéke akkor pozitív, ha számlálója és nevezője egyszerre pozitív vagy negatív, tehát ha

\begin{matrix} a - b > 0 és a + 3 b > 0 vagy a - b < 0 és a + 3 b < 0. \end{matrix}

Az első esetben, ha

b > 0

, akkor

a + 3 b = a - b + 4 b > a - b

, tehát elég feltenni, hogy

a - b > 0

; ha pedig

b \leq 0

, akkor

a - b = a + 3 b - 4 b \geq a + 3 b

, és így elég az utóbbi kifejezésről megkövetelni, hogy pozitív legyen. Hasonló meggondolásokat alkalmazva a második esetben is, azt nyerjük, hogy

x

-re és

y

-ra két különböző valós érték adódik (és mint már mondtuk, szerepük felcserélhető), ha

\begin{matrix} I . & a - b \end{matrix}