Feladat: 1964. évi Matematika OKTV II. forduló 3. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 1964/november, 109 - 114. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyéb poliéderek, Gúlák, Térfogat, OKTV
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1964/november: 1964. évi Matematika OKTV II. forduló 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. 1. Keressük először az olyan poliédereket, amelyeknek minden határlapja háromszög. Legyen a poliéder egy AB élén átmenő két határlap ABC és ABD. Az ABCD háromoldalú gúla tekinthető a feladat követelményeit kielégítő poliédernek (nem választható ki több különböző csúcsnégyes, 2. a. ábra).

 
 
2. ábra
 

Ha a poliédernek négynél több csúcsa van, akkor minden további csúcsnak a D-n átmenő, ABC-vel párhuzamos S síkban kell lennie, mert az ABC síkban több csúcs nincs, a többi csúcs ennek a síknak ugyanazon oldalán van, mint D, és a síktól ugyanakkora távolságra, mint D, mert különben az A, B, C csúcsokkal ABCD-étől különböző térfogatú gúlát alkotna. Ugyanígy benne vannak a további csúcsok a C-n átmenő, ABD-vel párhuzamos síkban is, tehát a két sík d metszésvonalán kell lenniük (2. b. ábra).
A további csúcsok ezenkívül az A, C, D csúcsokkal is akkora térfogatú gúlát alkotnak, mint ABCD, vagy az ACD síkban vannak. Az előbbi esetben viszont annak a két az ACD síkkal párhuzamos síknak egyikében vannak, amelyek olyan távolságra vannak az ACD síktól, mint a B csúcs. Ezek a síkok S-t egy a D-n átmenő e0 és a két oldalán egy-egy vele párhuzamos e1 és e2 egyenesben metszik. Ezek párhuzamosak AC-vel, d-ből két az AB-vel egyenlő szakaszt metszenek ki. Tekintetbe véve még azt is, hogy a további csúcsok BCD-vel is akkora térfogatú gúlát alkotnak, mint ABCD, vagy a BCD síkban vannak, S-ben egy D-n átmenő, BC-vel párhuzamos f0 egyenest és a két oldalán egy-egy vele párhuzamos f1 és f2 egyenest kapunk, amelyek távolsága f0-tól akkora, mint az A csúcsé BC-től.
A d egyenes azon pontjai lehetnek csúcsai a poliédernek, amelyeken egy ei és egy fj egyenes is átmegy. Az ilyen pontok az e0 egyenes E metszéspontja és f0-nak az F metszéspontja. Ugyanis a DEF háromszög egybevágó CAB-vel, mert oldalaik ellentétes irányban párhuzamosak, és D-ből, ill. C-ből húzott magasságaik egyenlők. Ha a két pont egyikét vesszük csak hozzá A, B, C, D-hez, akkor keletkezik egy paralelogramma-lap, mi pedig most csak háromszögekkel határolt poliédert keresünk.
Az ABCEFD poliédert csupa háromszöglap határolja, úgy származtatható pl. az ABCFD paralelogramma-alapú gúlából, hogy azt az alaplap középpontjára tükrözzük. Nevezzük röviden kettős gúlának. Ez megfelel a feladat követelményeinek, mert akárhogy választunk ki négy csúcsot, az A, E, a B, F és a C, D szemben fekvő csúcspárok egyike köztük van, mondjuk B és F (2. c. ábra), és ehhez az ACED paralelogramma két szomszédos csúcsát kell vennünk, ha nem egy síkban levő pontnégyest akarunk kiválasztani. Az így kapott háromoldalú gúla térfogata a kettős gúla térfogatának negyedrésze.
2. Keressünk most a követelményeket kielégítő olyan poliédereket, amelyeknek van háromnál több oldalú határlapja. Legyen A, B, C egy ilyen lap három egymás utáni csúcsa. Egy a síkjukban fekvő további csúcsnak rajta kell lennie az A-n átmenő, BC-vel párhuzamos egyenesen, mert egyrészt a határlap konvex, így csúcsai BC-nek azon az oldalán vannak, amelyiken A, másrészt A-val egyenlő távolságra is vannak BC-től, mert különben volna két különböző területű háromszög az ABC síkban, és ezek egy a síkon kívül fekvő csúccsal különböző térfogatú gúlákat határoznának meg. Ugyanígy adódik, hogy a C-n átmenő, AB-vel párhuzamos egyenesen is rajta kell lennie minden további csúcsnak (3. b. ábra), tehát csak ezek D metszéspontja lehet még csúcsa a határlapnak, és erre az ACD háromszög területe is egyenlő az ABC-ével. Meggondolásunk azt is mutatja, hogy egy a feladat követelményeinek megfelelő poliéder minden határlapja vagy háromszög, vagy paralelogramma.
Legyen az AB élen átmenő, ABCD-től különböző határlap egy további csúcsa E. Az ABCDE paralelogramma-alapú gúla (3. a. ábra) megfelel a feladat követelményeinek, mert belőle háromoldalú gúla csak az alaplap valamelyik csúcsának elhagyásával keletkezik, és ezeknek a térfogata mindig a négyoldalú gúla térfogatának a fele.
Ha a testnek 5-nél több csúcsa van, akkor hasonlóan okoskodhatunk tovább, mint a csak háromszögekkel határolt poliéderek esetében. A további csúcsok csak az E-n* átmenő, az ABC síkkal párhuzamos S síkban lehetnek; továbbá ahhoz, hogy az ABCD lap valamelyik három csúcsával alkotott gúlák egyenlő térfogatúak legyenek, benne kell lenniük a CD élen átmenő, az ABE síkkal párhuzamos síkban, vagy lehetnek az ABE síkban. Ezek a síkok S-ből két az AB-vel párhuzamos egyenest metszenek ki (a 3. b. ábra folytonos vonallal kihúzott egyenesei). Az A, D, E, a B, D, E és az A, C, E csúcsokat tartalmazó csúcsnégyeseket is figyelembe véve három egyeneshármas adódik, ‐ az előző meggondolás e0, e1, e2 és f0, f1, f2 egyeneseinek megfelelően, melyek rendre AD-vel, BD-vel, ill. AC-vel párhuzamosak (a 3. b. ábra hosszú szaggatott vonallal, apró szaggatott vonallal, ill. pontozva jelölt egyenesei). A további esetleges csúcsoknak mindegyik egyeneshármas valamelyik egyenesén rajta kell lennie.
 
 
3. ábra
 

Így azok a pontok jönnek tekintetbe poliédercsúcsokként, amelyeken négy különféleképpen jelölt egyenes megy át. Könnyen belátható, hogy ezek az egyenesek az S síkban ABCD-vel egybevágó paralelogrammákat, ezek átlóit és egyes csúcsokon átmenő, átlókkal párhuzamos egyeneseket alkotnak. Három olyan pont keletkezik, amelyiken mind a négy féle egyenesből megy át egy-egy; kettőbe E-ből az AB éllel párhuzamos, egyenlő hosszú, és egyező, ill. ellentétes irányú szakasz vezet, egybe pedig AD-vel párhuzamos, egyenlő hosszú és egyirányú szakasz. Az első két pontból csak az egyik tartozhatik a poliéderhez. Ha a poliéderen a három pont közül csak az egyik lesz csúcs, akkor háromoldalú hasábot kapunk (3. c. ábra), és minden háromoldalú hasáb megfelel a feladat követelményeinek. Ha ugyanis kiválasztunk négy csúcsot, akkor a paralelogramma lapok három közös éle közül valamelyiknek mind a két végpontja ki van választva, minden további csúcs ezek valamelyikével valamelyik paralelogramma-lapon szomszédos, tehát mindig ki van választva valamelyik paralelogramma-lap három csúcsa, és ha a négy csúcs nincs egy síkban, akkor a negyedik csúcs a paralelogrammához nem tartozó él egyik végpontja. Minden ilyen háromoldalú gúla térfogata a hasáb térfogatának harmadrésze.
 
 
4. ábra
 

Megmutatjuk végül, hogy a három pont közül nem lehet kettő egyszerre csúcsa a poliédernek. Ha ugyanis az E-től AD irányban levő F pont is, az AB irányban levő G pont is csúcsa a poliédernek (4. ábra), akkor a CFG síkkal párhuzamos síkban vannak az E, B, D csúcsok (a két csúcshármas alkotta háromszög megfelelő oldalai párhuzamosak), A pedig nincs egyik síkban sem, tehát pl. az ACFG és BCFG gúlák különböző térfogatúak. Ha G helyett az E-re vonatkozó G' tükörképe csúcsa a poliédernek, akkor az AD és BC él szerepe cserélődik meg, a DFG' és EAC síkok párhuzamosak, és B nincs egyikben sem. Így pl. a BDFG' és ADFG' gúlák térfogata különböző.
A feladat követelményeinek tehát a paralelogramma-alapú gúlák, a négyoldalú kettős gúlák és a háromoldalú hasábok felelnek meg, ide számíthatók továbbá a háromoldalú gúlák.
 

II. megoldás. 1. Keressük sorra a követelményeket kielégítő 4-, 5-, 6- stb. csúcsú poliédereket. Egy négy csúcsú poliéder csak háromoldalú gúla lehet és az megfelelőnek tekinthető.
2. Legyen ABCDE egy a követelményeknek megfelelő öt csúcsú poliéder, és A, B, C, D ennek négy nem egy síkban levő csúcsa. A konvexség miatt E nem lehet az ABCD gúla belsejében vagy határán, így valamelyik három csúcsán átmenő síknak ellenkező oldalán van, mint a gúla negyedik csúcsa; legyen ez az ABC sík. A DE szakasz ABC síkkal való E1 metszéspontja felezi a DE szakaszt, mert az ABCD és ABCE gúla térfogata egyenlő, így E ugyanakkora távolságra van az ABC síktól, mint D (5. a. ábra).
 
 
5. ábra
 

Vagy benne van E az ABD síkban, vagy az ABDE és ABCD gúlák térfogata egyenlő. Utóbbi esetben bontsuk ABDE-t az ABE1D és ABE1E gúlákra. Ezeknek a közös lapjukra bocsátott magassága egyenlő, és egyenlő az ABCD gúla D-ből húzott testmagasságával. Így az ABE1 háromszög területe fele akkora, mint az ABC háromszögé. E1 tehát vagy az AB oldalon van, vagy azoknak az AB-vel párhuzamos egyeneseknek az egyikén, amelyek fele akkora távolságra vannak tőle, mint a C csúcs (5. b. ábra). Hasonlóan rajta kell lennie E1-nek a BC oldalon, vagy annak a két vele párhuzamos egyenesnek az egyikén, amelyek BC-től félakkora távolságra vannak, mint az A csúcs; ugyancsak teljesülnie kell az AC oldalra vonatkozó megfelelő feltételnek is. Mindhárom oldallal párhuzamos egyenes csak az AB, BC, CA oldalak felezőpontjain megy át. Ezek bármelyikére is tükrözzük D-t, paralelogramma-alapú gúlát kapunk, és az E pont keresése közben már biztosítottuk, hogy az ebből kiválasztható bármelyik háromoldalú gúlának ugyanakkora legyen a térfogata.
3. Ha kiválasztjuk egy hat csúcsú, a követelményeknek megfelelő poliéder öt nem egy síkban levő csúcsát, ezek is a követelményeknek megfelelő poliédert határoznak meg, mert minden a csúcsai közül kiválasztható pontnégyes az eredeti poliéder csúcsai közül is kiválasztható, tehát bármely négy csúcs, ha nincs egy síkban, ugyanakkora térfogatú háromoldalú gúlát határoz meg.
Eszerint, ha az ABCDEF poliéder teljesíti a követelményeket, akkor az itt nem egy síkban levő csúcs meghatározta: ABCDE poliéder is, tehát, mint éppen láttuk, paralelogramma-alapú gúlának kell lennie. Az F csúcs vagy a gúla valamelyik háromszöglapjának, vagy a paralelogramma-lapnak ellenkező oldalán van, mint a többi csúcs.
Legyen BCDE a paralelogramma-lap, és F az ABC lap ellenkező oldalán, mint a gúla. Az öt csúcsú testnél követett meggondolást egyrészt az ABCD gúlára és az F csúcsra, másrészt az ABCE gúlára és az F csúcsra alkalmazva azt nyerjük, hogy F a D csúcsból is, és E-ből is az AB, BC, CA élek egyikének a felezőpontjára való tükrözéssel áll elő. A hat tükörkép közül csak E-nek AB felezőpontjára és D-nek AC felezőpontjára vonatkozó tükörképe esik egybe, ez lehet tehát csak az F csúcs. Ez a AEDCFB háromoldalú hasáb (6. ábra).
 
 
6. ábra
 

A háromoldalú hasáb valóban ki is elégíti a követelményeket. Ezt tudjuk már az ABCDE gúlára és az FBCDE négyoldalú gúlából kiválasztható háromoldalú gúlák térfogata ugyanakkora, mint az ABCDE-ből kiválaszthatóké, mert a két négyoldalú gúla egyenlő térfogatú, ugyanis A és F távolsága a BCDE paralelogramma síkjától ugyanakkora. Végül az F pont választása szerint az ADCFB, ill. az AEBFC poliéderből kiválasztható háromoldalú gúlák is egyenlő térfogatúak, és térfogatuk egyenlő az ABCD, ill. az ABCE gúla térfogatával, amik az ABCDE gúlának is részei. Így az összes kiválasztható háromoldalú gúlák egyenlő térfogatúak.
4. Keressük most az olyan ABCDEF poliédereket, amelyekben F az ABCDE gúla BCDE paralelogramma-lapjának van ellenkező oldalán, mint a gúla. Ezekre az AF szakasznak a BCDE síkba eső F1 felezőpontja az előzőkhöz hasonlóan vagy a BC egyenesen van, vagy attól félakkora távolságra, mint a DE egyenes; de ugyanakkor F1 vagy rajta van DE-n, vagy félakkora távolságra van tőle, mint BC. A két feltételt egyszerre a paralelogramma BC-vel párhuzamos középvonalának pontjai elégítik ki (7. ábra).
 
 
7. ábra
 

Ugyanígy rajta kell lennie F1-nek a CD-vel párhuzamos középvonalon is: Így F1 a paralelogramma középpontja, F az A csúcs erre vonatkozó tükörképe, a poliéder kettős paralelogramma-alapú gúla.
Ez a test valóban kielégíti a feladat követelményeit, mert az ABCDE gúlára ezt már tudjuk, F megkeresése pedig biztosította, hogy a kiválasztható, F-et és A-t tartalmazó háromoldalú gúlák térfogata egyenlő pl. ABCD-ével, továbbá ekkora az FBCDE poliéderből kiválasztható háromoldalú gúlák térfogata is, hiszen ez a poliéder az ABCDE poliéder tükörképe. Végül A-t is, F-et is elhagyva, egy síkban levő négy pont marad.
5. Megmutatjuk, hogy hatnál több csúcsú test nem elégíti ki a követelményeket. Ha kielégítené, akkor minden 7 csúcsú rész-teste is kielégítené a követelményeket. Egy ilyen 7 csúcsú testből 6 nem egy síkban levő csúcs az előzőek szerint vagy háromoldalú hasábot, vagy négyoldalú kettős gúlát határoz meg. Utóbbi esetben a hetedik G csúcs a test egy L lapjának ellenkező oldalán van, mint maga a test. De a kettős gúlának határlapja L-nek a test középpontjára vonatkozó L' tükörképe is, ami párhuzamos L-lel. Ekkor azonban két különböző térfogatú háromoldalú gúlát kapunk, ha L'-höz egyszer G-t, egyszer pedig L-nek valamelyik csúcsát vesszük.
Ha 6 csúcsot kiválasztva ezek háromoldalú hasábot határoznak meg, akkor a hetedik G csúcs ismét valamelyik határlapnak ellenkező oldalán van, mint a hasáb többi csúcsa. Az utolsó meggondolás mintájára látható, hogy G nem lehet az egyik háromszöglap ellenkező oldalán, mint a hasáb. Ha viszont G egy paralelogramma-lapnak van ellenkező oldalán, mint a hasáb, akkor a 4. pont meggondolását a paralelogramma és a további két csúcs egyike, ill. a másika alkotta gúlára alkalmazva azt kapjuk, hogy G mindkét csúcsnak tükörképe kellene hogy legyen a paralelogramma középpontjára, ez a két tükörkép azonban különböző. Így hasábhoz sem található hetedik csúcs.
Azt nyertük tehát, hogy a feladat követelményeinek a paralelogramma-alapú gúlák, a négyoldalú kettős gúlák, és a háromoldalú hasábok felelnek meg, amikhez még hozzávehetjük a háromoldalú gúlákat is, más poliédert nem.
*A 3. b ábrán F javítandó E-re.