Kezdőlap


Feladat:	1964. évi Matematika OKTV II. forduló 2. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1964/november, 107 - 109. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani sorozat, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Maradékos osztás, Nevezetes azonosságok, OKTV
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/november: 1964. évi Matematika OKTV II. forduló 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelöljük a középső számot $c$ -vel, a számtani sorozat különbségét $d$ -vel, ekkor a feladat feltételei:

\begin{matrix} {(c - 2 d)}^{3} + {(c - d)}^{3} + c^{3} + {(c + d)}^{3} = & (1) \\ = 16 {(c - 2 d + c - d + c + c + d)}^{2} = 16 {(2 (2 c - d))}^{2}, \\ {(c - d)}^{3} + c^{3} + {(c + d)}^{3} + {(c + 2 d)}^{3} = & (2) \\ = 16 {(c - d + c + c + d + c + 2 d)}^{2} = 16 {(2 (2 c + d))}^{2} . \end{matrix}

A második az elsőből megkapható úgy, hogy

d

helyébe

- d

-t írunk (és a tagokat fordított sorrendbe írjuk), ez felhasználható lesz az átalakítások meggyorsítására. Az (1) egyenletet rendezve és

2

-vel egyszerűsítve

\begin{matrix} 2 c^{3} - 3 c^{2} d + 9 c d^{2} - 4 d^{3} = 128 c^{2} - 128 c d + 8 d^{2} . \end{matrix}

Hasonlóan (2)-ből

\begin{matrix} 2 c^{3} + 3 c^{2} d + 9 c d^{2} + 4 d^{3} = 128 c^{2} + 128 c d + 8 d^{2} . \end{matrix}

Vonjuk le a második egyenletből az elsőt és osszunk

2

-vel:

\begin{matrix} 3 c^{2} d + 4 d^{3} = 128 c d . \end{matrix}

Ez teljesül, ha

d = 0

. Ekkor (1)-ből

\begin{matrix} 4 c^{3} = 256 c^{2}, c = 0 vagy c = 64. \end{matrix}

d \neq 0

, akkor a

\begin{matrix} 3 c^{2} - 128 c + 4 d^{2} = 0 \end{matrix}

egyenletnek kell teljesülnie. Szorozzunk

3

-mal és egészítsük ki az első két tagot teljes négyzetté:

\begin{matrix} {(3 c - 64)}^{2} + 3 {(2 d)}^{2} = 2^{12} . \end{matrix}

(3)

Itt, ha

c

egész, a bal oldal első tagja nem

0

, és feltevésünk szerint a második sem. Legyen

3 c - 64 = 2^{k} u

2 d = 2^{l} v

, ahol

u

v

páratlan és

k, l < 6

. Nem lehet

k

és

l

különböző, mert akkor

2

alkalmas hatványának kiemelése után

1

-nél nagyobb páratlan szám marad vissza, s így nem keletkezhet a jobb oldali

2^{12}

érték. Ha

k = l

, akkor az

\begin{matrix} u^{2} + 3 v^{2} = 2^{12 - 2 k} = 4^{6 - k} \end{matrix}

egyenlethez jutunk, amelynek páratlan

u

és

v

-ből álló megoldását keressük. Ismeretes, hogy páratlan szám négyzete

8

-cal osztva

1

-et ad maradékul. Az egyenlet bal oldala eszerint

8

-cal osztva

4

-et ad maradékul, tehát csak úgy lehet

2

-nek egy hatványa, ha egyenlő

4

-gyel, azaz

k = 5

u = \pm 1

v = \pm 1

, tehát

\begin{matrix} 3 c - 64 = \pm 32, 2 d = \pm 32. \end{matrix}

Az első egyenletből csak pozitív előjel mellett kapunk egész

c

-t:

\begin{matrix} c = 32, d = \pm 16. \end{matrix}

A feladat feltételeinek tehát a

\begin{matrix} 0, & 0, & 0, & 0, & 0 & 64, & 64, & 64, & 64, & 64 \\ 0, & 16, & 32, & 48, & 64 & 64, & 48, & 32, & 16, & 0 \end{matrix}

sorozatok felelhetnek meg, és a számításokat elvégezve azt találjuk, hogy ezek valóban meg is felelnek.

II. megoldás. Az előző megoldás jelöléseit használva az (1) egyenlet bal oldalán az első és utolsó, továbbá a második és harmadik tag összegét alakítsuk át az

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})

azonosság alapján. Ekkor a bal oldal így alakul:

\begin{matrix} (2 c - d) [{(c - 2 d)}^{2} - (c - 2 d) (c + d) + {(c + d)}^{2}] + (2 c - d) [{(c - d)}^{2} - \\ - (c - d) c + c^{2}] = (2 c - d) (2 c^{2} - 2 c d + 8 d^{2}) . \end{matrix}

Így az egyenletet

0

-ra redukálva

2 (2 c - d)

-t kiemelhetünk:

\begin{matrix} 2 (2 c - d) (c^{2} - c d + 4 d^{2} - 64 c + 32 d) = 0. \end{matrix}

Hasonlóan a (2) egyenletből

\begin{matrix} 2 (2 c + d) (c^{2} + c d + 4 d^{2} - 64 c - 32 d) = 0. \end{matrix}

d = 2 c

, akkor az előbbi egyenlet teljesül, az utóbbi így alakul:

\begin{matrix} 8 c^{2} (19 c - 128) = 0. \end{matrix}

(4)

Ennek egész gyöke csak

c = 0

, amiből

d = 0

.
A

d = - 2 c

esetben az előbbi egyenlet megy át (4)-be, s így újabb megoldást nem kapunk.
Ha

d \neq \pm 2 c

, akkor a következő egyenletrendszernek kell teljesülnie:

\begin{matrix} c^{2} - c d + 4 d^{2} - 64 c + 32 d = 0, \\ c^{2} + c d + 4 d^{2} - 64 c - 32 d = 0. \end{matrix}

Az egyenletek összegének felét és különbségének felét véve az eredetivel ekvivalens egyenletrendszert kapunk, hiszen az utóbbiak különbsége, ill. összege az eredeti egyenleteket adja:

\begin{matrix} c^{2} + 4 d^{2} - 64 c = c (c - 64) + 4 d^{2} = 0, (c - 32) d = 0. \end{matrix}

Az utóbbi egyenletből vagy

c = 32

, vagy

d = 0

kell, hogy teljesüljön. Az első esetben az előbbi egyenletből

\begin{matrix} 4 d^{2} = 32^{2} d = \pm 16, \end{matrix}

az utóbbi esetben pedig

\begin{matrix} c = 0, vagy c = 64. \end{matrix}

Ezek az előbbi megoldásban talált számtani sorozatokra vezetnek.

Megjegyzések. 1. A feltételek két ismeretlenre két egyenletet adnak, ezekből az ismeretlenekre véges sok értékpár adódik. Mint a II. megoldás mutatja, nem szükséges lényegesen kihasználni a számok egész voltát, mindössze a többi feltételeket kielégítő

\begin{matrix} - 384 / 19, - 128 / 19, 128 / 19, 384 / 19, 640 / 19 \end{matrix}

és az ennek megfordításával keletkező sorozat kizárására.
2. Az I. megoldásban az (1) és (2)-ből keletkező (3) egyenletet oldottuk meg a keresett számok egész voltát lényegesen kihasználva. A közben felmerült

c = 32 / 3

d = \pm 16

értékpárokhoz tartozó számtani sorozatok nem csak nem állnak egészekből, de a feladat többi feltételét sem elégítik ki. Ez nem meglepő, hiszen a megoldott (3) egyenlet nem ekvivalens az (1) és (2)-ből álló egyenletrendszerrel. Ezért az I. megoldásnál szükséges a nyert sorozatokra a követelmények teljesülésének ellenőrzése. Az előző pontban említett nem egész sorozat viszont az I. megoldásban nem jelentkezett, amit az magyaráz, hogy ott csak egész megoldást kerestünk,

c = 128 / 19

d = \pm 256 / 19

-höz pedig a (3) egyenletnek nem egész megoldása tartozik.