A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Jelöljük a középső számot -vel, a számtani sorozat különbségét -vel, ekkor a feladat feltételei:
A második az elsőből megkapható úgy, hogy helyébe -t írunk (és a tagokat fordított sorrendbe írjuk), ez felhasználható lesz az átalakítások meggyorsítására. Az (1) egyenletet rendezve és -vel egyszerűsítve | | Hasonlóan (2)-ből | | Vonjuk le a második egyenletből az elsőt és osszunk -vel: Ez teljesül, ha . Ekkor (1)-ből Ha , akkor a egyenletnek kell teljesülnie. Szorozzunk -mal és egészítsük ki az első két tagot teljes négyzetté: Itt, ha egész, a bal oldal első tagja nem , és feltevésünk szerint a második sem. Legyen , , ahol , páratlan és . Nem lehet és különböző, mert akkor alkalmas hatványának kiemelése után -nél nagyobb páratlan szám marad vissza, s így nem keletkezhet a jobb oldali érték. Ha , akkor az egyenlethez jutunk, amelynek páratlan és -ből álló megoldását keressük. Ismeretes, hogy páratlan szám négyzete -cal osztva -et ad maradékul. Az egyenlet bal oldala eszerint -cal osztva -et ad maradékul, tehát csak úgy lehet -nek egy hatványa, ha egyenlő -gyel, azaz , , , tehát Az első egyenletből csak pozitív előjel mellett kapunk egész -t: A feladat feltételeinek tehát a
sorozatok felelhetnek meg, és a számításokat elvégezve azt találjuk, hogy ezek valóban meg is felelnek. II. megoldás. Az előző megoldás jelöléseit használva az (1) egyenlet bal oldalán az első és utolsó, továbbá a második és harmadik tag összegét alakítsuk át az azonosság alapján. Ekkor a bal oldal így alakul:
Így az egyenletet -ra redukálva -t kiemelhetünk: | | Hasonlóan a (2) egyenletből | |
Ha , akkor az előbbi egyenlet teljesül, az utóbbi így alakul: Ennek egész gyöke csak , amiből . A esetben az előbbi egyenlet megy át (4)-be, s így újabb megoldást nem kapunk. Ha , akkor a következő egyenletrendszernek kell teljesülnie:
Az egyenletek összegének felét és különbségének felét véve az eredetivel ekvivalens egyenletrendszert kapunk, hiszen az utóbbiak különbsége, ill. összege az eredeti egyenleteket adja: | | Az utóbbi egyenletből vagy , vagy kell, hogy teljesüljön. Az első esetben az előbbi egyenletből az utóbbi esetben pedig Ezek az előbbi megoldásban talált számtani sorozatokra vezetnek. Megjegyzések. 1. A feltételek két ismeretlenre két egyenletet adnak, ezekből az ismeretlenekre véges sok értékpár adódik. Mint a II. megoldás mutatja, nem szükséges lényegesen kihasználni a számok egész voltát, mindössze a többi feltételeket kielégítő | | és az ennek megfordításával keletkező sorozat kizárására. 2. Az I. megoldásban az (1) és (2)-ből keletkező (3) egyenletet oldottuk meg a keresett számok egész voltát lényegesen kihasználva. A közben felmerült , értékpárokhoz tartozó számtani sorozatok nem csak nem állnak egészekből, de a feladat többi feltételét sem elégítik ki. Ez nem meglepő, hiszen a megoldott (3) egyenlet nem ekvivalens az (1) és (2)-ből álló egyenletrendszerrel. Ezért az I. megoldásnál szükséges a nyert sorozatokra a követelmények teljesülésének ellenőrzése. Az előző pontban említett nem egész sorozat viszont az I. megoldásban nem jelentkezett, amit az magyaráz, hogy ott csak egész megoldást kerestünk, , -höz pedig a (3) egyenletnek nem egész megoldása tartozik. |