A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Írjunk helyébe -t, majd igyekezzünk szorzattá alakítani:
Itt a második tag nem pozitív, mert a koszinusz-függvény nem vesz fel -nél nagyobb értéket, a harmadik pedig kisebb -nél, mert egyik tényezője sem nagyobb -nél, de nem lehet mindkettő egyszerre sem (nem lehet is, is ). Így és ezt akartuk bizonyítani. II. megoldás. Az állítás helyes, ha a háromszög nem hegyesszögű, mert ekkor az egyik tag nem pozitív, a másik kettő mindegyike pedig -nél kisebb. Hegyesszögű háromszögben válasszuk a betűzést úgy, hogy és a vele szemben levő oldal legyen a legkisebb, illetve a legkisebbek egyike. Jelöljük továbbá csúcsát -vel, az , oldalakat -vel, ill. -val; legyen merőleges vetülete az egyenesen , ez az oldal belső pontja. Így Innen, mivel feltevés szerint , , így | | a harmadik szögre , tehát helyes az állítás hegyesszögű háromszögben is. III. megoldás. A bizonyítandó egyenlőtlenség, mint az előző megoldásban is láttuk, nyilvánvalóan helyes, ha a háromszög nem hegyesszögű. Hegyesszögű háromszögre , , pozitív hegyesszögek, melyek összege , és | | Ezt az összeget szemléltethetjük a következő módon: egységnyi sugarú negyedkörbe rajzoljuk be az , ill. nagyságú , szögeket (1. ábra).
1. ábra Ekkor , és a , , háromszögekben a sugár alkotta oldalakra merőleges magasság hossza rendre , , , így a vizsgálandó összeg az ötszög területének kétszeresével egyenlő, tehát kisebb, mint az egységnyi sugarú félkör területe, . Hegyesszögű háromszögre tehát | |
IV. megoldás. Alakítsuk két koszinusz összegét szorzattá: | | mert mindkét tényező pozitív, hiszen és hegyesszögek. Fejezzük ki -t is a fele akkora szög szinuszával, akkor azt nyerjük, hogy | | A második tag nem lehet pozitív, így a bizonyítandó állításon túlmenően azt bizonyítottuk be, hogy Itt akkor érvényes az egyenlőség jele, ha egyrészt , másrészt . Az első egy háromszög szögeire csak akkor teljesül, ha , a második akkor, ha ; ekkor az első feltétel szerint , azaz a háromszög szabályos. Az (1) egyenlőtlenségben tehát szabályos háromszögre egyenlőség, más háromszögekre a ,,kisebb'' jel érvényes. Megjegyzés. Az előző megoldás ábrája alapján finomabb elemzéssel szintén bizonyítható az (1) egyenlőtlenség hegyesszögű háromszögre, és kiterjeszthető a meggondolás nem hegyesszögű háromszögekre is. V. megoldás. Fejezzük ki a szögek koszinuszát a koszinusz-tétel alapján az oldalakkal. Vizsgáljuk először két koszinusz összegét:
Mindhárom szögpárra felírva a megfelelő kifejezést és összeadva azokat, a pozitív tagok összegében fellép miden törttel a reciproka is, így az összeg a következőképpen alakítható tovább:
ugyanis mindegyik négyzet szorzója pozitív, mert a háromszög két oldalának az összege nagyobb, mint a harmadik oldal. Így Itt akkor áll egyenlőség, ha a fenti tört számlálójában , azaz szabályos háromszögre. Megjegyzés: többen észrevették a bal oldal következő átalakítási lehetőségét:
Innen Heron képletét, az és összefüggéseket felhasználva, ahol a kerület felét, a háromszög területét, és a körülírt és beírt kör sugarát jelöli, a következőt nyerjük: | | Világos, hogy , amiből következik a feladat állítása. Az is belátható (trigonometria felhasználása nélkül is), hogy , amiből (1) következik. |