Kezdőlap


Feladat:	1964. évi Matematika OKTV I. forduló 2. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1964/november, 100 - 101. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Sík egyenlete, Párhuzamos szelők tételének megfordítása, OKTV
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/november: 1964. évi Matematika OKTV I. forduló 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Fejezzük ki a három paramétertől függő $K$ kifejezést egyetlen paraméterrel, pl. $x$ -szel. A feltételi egyenletekből összeadással és rendezéssel

\begin{matrix} y = \frac{10}{7} - x, \end{matrix}

(4)

és ezt felhasználva pl. (2)-ből

\begin{matrix} z = \frac{9}{7} - \frac{3}{2} x . \end{matrix}

(5)

A feltétel alapján

x

nem lehet negatív, a

0

értéket azonban már felveheti, mert

x = 0

esetén (4) és (5) szerint

y

és

z

pozitívok,

x

minimális értéke tehát

0

. Másrészt abból, hogy

y

és

z

nem negatív,

x

-re (4) és (5) alapján

\begin{matrix} x \leq \frac{10}{7}, illetve x \leq \frac{6}{7} \end{matrix}

adódik, tehát

x

maximális értéke

\frac{6}{7}

.
(4) és (5) felhasználásával

\begin{matrix} K = 5 x - 6 y + 7 z = \frac{x}{2} + \frac{3}{7}, \end{matrix}

ennek értéke

x

növekedésével nő, tehát legkisebb és legnagyobb értéke ‐ az

x

minimális és maximális értékét behelyettesítve ‐

\begin{matrix} K_{{min}_{}^{}} = \frac{3}{7}, illetve K_{{max}_{}^{}} = \frac{6}{7} . \end{matrix}

6. ábra

II. megoldás. Szemléltessük a feladatban szereplő háromváltozós kifejezéseket egy térbeli derékszögű koordinátarendszerben. (A térbeli koordináta geometria bizonyos elemeinek ismeretét ebben a megoldásban feltételezzük.)
A (2) és (3) egyenletek egy-egy síkot határoznak meg a térben (6. ábra). A mind a két egyenletet kielégítő számhármasok az e két sík metszésvonalán elhelyezkedő pontok koordinátái. Az

x \geq 0

y \geq 0

z \geq 0

további feltételek miatt ennek a metszésvonalnak csak az első térnyolcadba (és annak határára) eső része jön szóba, ez pedig a

P_{1} (0, 10 / 7, 9 / 7)

ponttól a

P_{2} (6 / 7, 4 / 7, 0)

pontig terjed.
Az

5 x - 6 y + 7 z = K

egyenlet minden adott

K

értékre egy-egy síkot határoz meg, amely az

X

Y

Z

- tengelyből rendre

\begin{matrix} a = K / 5, b = - K / 6, c = K / 7 \end{matrix}

hosszúságú szakaszt metsz le. Ezek egyenes arányban vannak

K

-val, tehát a különböző

K

értékekhez tartozó síkoknak a koordináta-síkokba eső metszésvonalai párhuzamosak, így maguk a síkok is párhuzamosak.

7. ábra

Ábrázoljuk a párhuzamos síksereg

P_{1}

-en, illetve

P_{2}

-n átmenő egyedét (7. ábra).

K

értéke

P_{1}

-ben

3 / 7

P_{2}

-ben

6 / 7

, különbözők, így

P_{1}

-en és

P_{2}

-n a síksereg két különböző egyede halad át, a tengelymetszetek

\begin{matrix} a_{1} = 3 / 35, & b_{1} = - 3 / 42, & c_{1} = 3 / 49, & illetve \\ a_{2} = 6 / 35, & b_{2} = - 6 / 42, & c_{2} = 6 / 49. \end{matrix}

P_{1} P_{2}

szakasz minden egyes belső pontján a párhuzamos síkseregnek egy és csak egy ‐ a két megrajzolt sík közti ‐ egyede megy át. A tengelymetszetekből megállapítható, hogy

P_{1}

-től

P_{2}

felé haladva

K

értéke növekszik, tehát a fenti

K_{1}

a legkisebb,

K_{2}

a legnagyobb érték.