A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Legyen egy a követelményeknek megfelelő négyszög. A betűzést válasszuk úgy, hogy legyen. A -nél és -nél levő szög legyen , illetve . Tükrözzük a négyszöget a átló felező merőlegesére. Ekkor helyben marad, és egymás tükörképei. Legyen tükörképe , ezek különbözők, ha . Ezt egyelőre feltesszük. Az háromszögben ismert az és oldal, továbbá a köztük levő szög, mint és különbsége. Ebből az háromszög és abból a négyszög megszerkeszthető, pl. a következő módon. Egy csúcsú, nagyságú szög száraira rámérjük az adott és hosszúságokat. Húzzuk meg az szakasz felező merőlegesét; mérjük az oldalra végpontjában a szöget. E szög -t nem tartalmazó szárának -fel való metszéspontja adja -t, -nek -re vonatkozó tükörképe -t.
1. ábra A szerkesztés az esetben csak akkor adhat a feltételeknek megfelelő négyszöget, ha . Ugyanis folytán és ugyanazon a partján van -nek, az ellenkezőn, így az és szakaszok metszik egymást -en; más szóval metszi az oldalt, s így az konvex szögtartományban halad, tehát Ha ez teljesül, és a szerkesztés elvégezhető, akkor egy négyszöget kapunk, és ennek oldalai és szögei a kívánt tulajdonságúak: teljesül, és a kívánt nagyságú, , így mellett | | is a kívánt nagyságú. Nem föltétlenül lesz azonban konvex a négyszög. Az is lehet, hogy a szerkesztés egy pontot sem ad, ha ugyanis -nak az -t nem tartalmazó szára párhuzamos -fel, vagy a meghosszabbítása metszi -et. A feladatnak tehát akkor van megoldása és csak egy, ha a szög -t nem tartalmazó szára metszi az egyenest, éspedig a egyenes ellenkező oldalán, mint amelyiken van. Az egyes lehetőségek feltételeit az adatokra vonatkozó összefüggésekkel fejezni ki igen körülményes és bonyolult számítási feladatot igényelne. Ha , akkor a négyszög deltoid, tehát kell hogy teljesüljön, ha pedig ez fennáll, akkor végtelen sok négyszög kielégíti a feltételt. Ugyanis egy nagyságú szög egyik szárára rámérjük a csúcsból a távolságot, a másik száron kijelölünk tetszés szerint egy pontot, ha nem hegyes szög, ha pedig hegyes szög, akkor -t -nak a száron levő vetületénél messzebb választjuk a csúcstól, végül vesszük a pont tükörképét -re. Az deltoid konvex és , oldala, továbbá -nél és -nél levő szöge a kívánt nagyságú. Ekkor tehát a feladat határozatlan.
2. ábra Megjegyzés. Többen háromszögnek egy oldalából, a rajta fekvő egyik szögből és a másik két oldal összegéből való megszerkesztésére vezették vissza tükrözéssel a feladatot. Ennek megoldása viszont megint csak lényegében a fenti háromszög megszerkesztésére vezet. |