Feladat: 1963. évi Matematika OKTV II. forduló 2. feladata Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1963/november, 103 - 104. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Négyszögek szerkesztése, Tengelyes tükrözés, Deltoidok, OKTV
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1963/szeptember: 1963. évi Matematika OKTV II. forduló 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen ABCD egy a követelményeknek megfelelő négyszög. A betűzést válasszuk úgy, hogy AB≤AD legyen. A B-nél és D-nél levő szög legyen β, illetve δ. Tükrözzük a négyszöget a BD átló felező merőlegesére. Ekkor C helyben marad, B és D egymás tükörképei. Legyen A tükörképe A', ezek különbözők, ha AB≠AD. Ezt egyelőre feltesszük. Az AA'B háromszögben ismert az AB és A'B=AD oldal, továbbá a köztük levő szög, mint β és δ különbsége. Ebből az AA'B háromszög és abból a négyszög megszerkeszthető, pl. a következő módon. Egy B csúcsú, |β-δ| nagyságú szög száraira rámérjük az adott BA és BA'=DA hosszúságokat. Húzzuk meg az AA' szakasz f felező merőlegesét; mérjük az AB oldalra B végpontjában a β szöget. E szög A-t nem tartalmazó szárának f-fel való metszéspontja adja C-t, B-nek f-re vonatkozó tükörképe D-t.

 
 

1. ábra
 

A szerkesztés az AB<AD esetben csak akkor adhat a feltételeknek megfelelő négyszöget, ha β>δ. Ugyanis AD=A'B>AB folytán A és B ugyanazon a partján van f-nek, D az ellenkezőn, így az AD és A'B szakaszok metszik egymást f-en; más szóval BA' metszi az AD oldalt, s így az ABC konvex szögtartományban halad, tehát
δ=A'BC∢<ABC∢=β.
Ha ez teljesül, és a szerkesztés elvégezhető, akkor egy négyszöget kapunk, és ennek oldalai és szögei a kívánt tulajdonságúak: BC=CD teljesül, és AD=A'B a kívánt nagyságú, ABA'∢=β-δ, így ABC∢=β mellett
ADC∢=A'BC∢=ABC∢-ABA'∢=β-(β-δ)=δ
is a kívánt nagyságú. Nem föltétlenül lesz azonban konvex a négyszög.
Az is lehet, hogy a szerkesztés egy C pontot sem ad, ha ugyanis β-nak az A-t nem tartalmazó szára párhuzamos f-fel, vagy a meghosszabbítása metszi f-et. A feladatnak tehát akkor van megoldása és csak egy, ha a β szög A-t nem tartalmazó szára metszi az f egyenest, éspedig a BD egyenes ellenkező oldalán, mint amelyiken A van. Az egyes lehetőségek feltételeit az adatokra vonatkozó összefüggésekkel fejezni ki igen körülményes és bonyolult számítási feladatot igényelne.
Ha AB=AD, akkor a négyszög deltoid, tehát β=δ kell hogy teljesüljön, ha pedig ez fennáll, akkor végtelen sok négyszög kielégíti a feltételt. Ugyanis egy β nagyságú szög egyik szárára rámérjük a B csúcsból a BA távolságot, a másik száron kijelölünk tetszés szerint egy C pontot, ha β nem hegyes szög, ha pedig hegyes szög, akkor C-t A-nak a száron levő vetületénél messzebb választjuk a csúcstól, végül vesszük a B pont D tükörképét AC-re. Az ABCD deltoid konvex és AB, AD oldala, továbbá B-nél és D-nél levő szöge a kívánt nagyságú. Ekkor tehát a feladat határozatlan.
 
 

2. ábra
 

Megjegyzés. Többen háromszögnek egy oldalából, a rajta fekvő egyik szögből és a másik két oldal összegéből való megszerkesztésére vezették vissza tükrözéssel a feladatot. Ennek megoldása viszont megint csak lényegében a fenti AA'B háromszög megszerkesztésére vezet.