Kezdőlap


Feladat:	1963. évi Matematika OKTV II. forduló 1. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1963/november, 102 - 103. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Trigonometrikus függvények, Trigonometriai azonosságok, OKTV
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/szeptember: 1963. évi Matematika OKTV II. forduló 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Világos, hogy nem lehet mindkét fellépő szögfüggvény negatív. Belátjuk, hogy egyik sem lehet az. Ha ugyanis pl. $sin x < 0$ , $cos x \geq 0$ , akkor a bal oldalt

\begin{matrix} sin x + cos x (1 + sin x) \end{matrix}

alakban írva

0 \leq 1 + sin x < 1

, így mindkét tag abszolút értéke kisebb, mint 1, és az első tag negatív, tehát a kifejezés kisebb, mint 1. Hasonlóan látható,

sin x

és

cos x

szerepét felcserélve, hogy

cos x

sem lehet negatív.
Ha

sin x \geq 0

cos x \geq 0

, akkor ‐ mivel 0 és 1 közti szám nem kisebb, mint a négyzete ‐

\begin{matrix} sin x + cos x + sin x cos x \geq sin x + cos x \geq sin^{2} x + cos^{2} x = 1. \end{matrix}

Itt mindenütt az egyenlőség jelének kell fennállnia ahhoz, hogy (1) teljesüljön. Az első esetben akkor áll egyenlőség, ha vagy

sin x = 0

‐ és ekkor

cos x \geq 0

folytán,

cos x = 1

‐, vagy

cos x = 0

sin x = 1

. Ezekben az esetekben (1) valóban fenn is áll, tehát megtaláltuk az egyenlet összes megoldását. A megfelelő szögértékek:

\begin{matrix} x = k \cdot 360^{\circ}, (k = 0, \pm 1, \pm 2, ...) és x = 90^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} (k = 0, \pm 1, \pm 2 ...) . \end{matrix}

II. megoldás. Vigyük át a bal oldal harmadik tagját a jobb oldalra és emeljünk négyzetre

\begin{matrix} sin^{2} x + cos^{2} x + 2 sin x cos x = 1 - 2 sin x cos x + sin^{2} x cos^{2} x . \end{matrix}

A bal oldal első két tagjának az összege 1, így az egyenlet a következő alakba rendezhető át:

\begin{matrix} sin x cos x (4 - sin x cos x) = 0. \end{matrix}

Az utolsó tényező értéke legalább 3, így az egyenlet csak úgy teljesülhet, ha

sin x = 0

, vagy

cos x = 0

. Ezeket (1)-be írva kapjuk, hogy

cos x = 1

, ill.

sin x = 1

kell legyen. Ilyen

x

szögek valóban vannak is:

\begin{matrix} x = k \cdot 360^{\circ} & (k = 0, \pm 1, \pm 2, ...), ill. \\ x = 90^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} & (k = 0, \pm 1, \pm 2, ...) . \end{matrix}