A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük a tégla csúcsait , , , , , , , -val ( egy határlap és ); , , legyen rendre az , , élek hossza. A testátlók hosszát jelöljük -vel, a tégla középpontját -val; tudjuk, hogy . Állapítsuk meg először az átlókra merőleges síkok közt keletkező test alakját. Az , , élek , , felező merőleges síkjaira tükrözve a téglát, az önmagába megy át, testátlói ismét testátlókba, így az azokra merőleges síkok is egymásba mennek át, tehát a test is szimmetrikus , , -ra. A szimmetriasíkok létesítette térnyolcadok mindegyike egy téglacsúcsot tartalmaz. Az ebben a megfelelő testátlóra merőlegesen állított sík a szimmetriasíkokkal egy-egy 3-oldalú gúlát határoz meg, melynek egyik csúcsa, , és az ebben találkozó lapjai, amelyek a szimmetriasíkokban vannak, páronként merőlegesek. A testátlóra merőleges sík valóban a szimmetriasíkok metszésvonalainak a térnyolcadot határoló félegyeneseit metszi, mert a testátló átmegy -n, ami a félegyenesek közös pontja és hegyes szöget alkot a félegyenesekkel. Egy ilyen gúla a szimmetriasíkokra való tükrözéssel sorra átvihető az összes többibe, és a 8 gúla együttesen alkotja -t, amelynek határfelülete így 8 egybevágó háromszögből áll, élei a szimmetriasíkokban vannak, csúcsai ezek metszésvonalain.
4. ábra Könnyű belátni (ezt számításainkban nem fogjuk felhasználni), hogy az egy szimmetriasíkban levő élek egy-egy rombuszt alkotnak, ezen mint alapon nyugvó két egyenes gúlából tevődik össze . Az ilyen testet a kristálytanban rombos bipiramisnak nevezik. térfogata a szimmetriasíkok közti egy nyolcadba eső háromoldalú gúla térfogatának 8-szorosa, felszíne pedig a téglacsúcson átmenő határlap területének 8-szorosa. Jelöljük a szóban forgó gúlának a tégla , , éleivel párhuzamos éleinek hosszát , , -lel, akkor térfogatát kétféle úton is kiszámíthatjuk: mint a merőleges élek hossza szorzatának a hatodát, és mint -nek és a rá merőleges téglaátló felének -szoros szorzatát: Így térfogatára, -re, ill. felszínére, -re | | tehát a kettő között a következő összefüggés áll fenn: Elég tehát és egyikét meghatározni. -t lesz könnyebb, illetőleg a kiszámításához szükséges , , szakaszokat. Jelöljük az -t tartalmazó térnegyedbe eső gúla hosszúságú élének -tól különböző végpontját -vel, az él metszéspontját az lappal (e lap középpontját) -gyel. Ekkor , továbbá az -ra -ban emelt merőleges sík egy egyenese, s így merőleges -ra. Az és derékszögű háromszögek hasonlók, mert -nál levő hegyesszögük közös; így | | Ugyanígy látható, hogy Így a keresett mennyiségek
|