Kezdőlap


Feladat:	1963. évi Matematika OKTV I. forduló 2. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1963/november, 99 - 100. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Paraméteres egyenletrendszerek, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Tizes alapú számrendszer, Oszthatósági feladatok, OKTV
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/november: 1963. évi Matematika OKTV I. forduló 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelöljük a keresett számot így: $N = \bar{x y} = 10 x + y$ , itt $x \geq 1$ , mert a szám kétjegyű. Hozzáadva $N$ -hez a számjegyek $x + y$ összegét az

\begin{matrix} N_{1} = 10 x + y + (x + y) = 11 x + 2 y \end{matrix}

összeg utolsó jegye az

M = x + 2 y

szám utolsó jegye lesz, első jegye pedig

x

-nél

M

tízes jegyével nagyobb. Jelöljük ezt a jegyet

k

-val, erre

0 \leq k \leq 2

, mert

M \leq 3 \cdot 9 = 27

M

és vele együtt

N_{1}

utolsó jegye

M - 10 k = x + 2 y - 10 k

N_{1}

első jegye

x + k

, így

N_{1}

jegyeinek összege

x + k + x + 2 y - 10 k = 2 (x + y) - 9 k

. Ezt

N_{1}

-hez adva a keletkező

N_{2}

számnak a jegyek felcserélésével keletkező

10 y + x

számnak kell lennie:

\begin{matrix} N_{2} = 11 x + 2 y + 2 (x + y) - 9 k = 13 x + 4 y - 9 k = 10 y + x . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} 6 y + 9 k = 12 x, 2 y + 3 k = 4 x . \end{matrix}

Itt

3 k

és vele együtt

k

is csak páros lehet, tehát

k

értéke

0

vagy

2

.
Ha

k = 0

, akkor

y = 2 x

N

jegyeinek összege

x + 2 y = 5 x

egyjegyű, tehát

x = 1

y = 2

, és

N = 12

megfelel a feladat feltételeinek, mert

\begin{matrix} N_{1} = 12 + 1 + 2 = 15, N_{2} = 15 + 1 + 5 = 21. \end{matrix}

k = 2

y = 2 x - 3

N

jegyeinek összegére

\begin{matrix} 20 \leq x + 2 y \leq 3 \cdot 9 = 27, 20 \leq 5 x - 6 \leq 27, 26 \leq 5 x \leq 33. \end{matrix}

Eszerint csak

x = 6

lehetséges, így

y = 9

, és

N' = 69

szintén megoldása a feladatnak, mert rá

N'_{1} = 69 + 6 + 9 = 84

N'_{2} = 84 + 8 + 4 = 96.

II. megoldás. Jelöljük a keresett

10 x + y

számból a jegyei hozzáadásával keletkező szám jegyeit

a

b

-vel:

\begin{matrix} 10 x + y + x + y = 11 x + 2 y = 10 a + b . \end{matrix}

Feltétel szerint ehhez hozzáadva jegyeit a

10 y + x

számot kapjuk:

\begin{matrix} 10 a + b + a + b = 11 a + 2 b = 10 y + x . \end{matrix}

A két összefüggésből kiküszöböljük

x

-et:

\begin{matrix} 11 (10 y + x) - (11 x + 2 y) & = 108 y \\ = 11 (11 a + 2 b) - (10 a + b) = 111 a + 21 b . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} 36 y = 37 a + 7 b, y = a + \frac{a + 7 b}{36} . \end{matrix}

Itt az utolsó tört számlálója osztható kell hogy legyen 36-tal, mert

y

egész, továbbá

a

legfeljebb 8, mert

y

nála nagyobb és számjegy. Így

a + 7 b \leq 8 + 7 \cdot 9 = 71

, tehát

a + 7 b = 36

kell hogy legyen. Innen

\begin{matrix} b = 5 - \frac{a - 1}{7} . \end{matrix}

Ez csak úgy lehet egész, ha

a - 1

osztható 7-tel, ami a számjegyek közül csak

a = 1

és

a = 8

-ra következik be;

b

megfelelő értékei 5 és 4. A keresett szám jegyeinek felcserélésével keletkező szám ekkor

11 a + 2 b = 21

, ill. 96, a keresett szám tehát 12 és 69 lehet, és mindkettő kielégíti a feladat feltételeit.

III. megoldás. Megmutatjuk, hogy a keresett szám 3-mal osztható. Legyen ugyanis a szám maradéka 9-cel osztva

r

, akkor, mint tudjuk, jegyeinek összege is

r

maradékot ad 9-cel osztva, s így a jegyek hozzáadásával keletkező szám ugyanannyi maradékot ad 9-cel osztva, mint

2 r

, és ugyanennyi maradékot ad a jegyeinek összege is. Ha tehát a keletkezett számhoz újra hozzáadjuk a jegyeinek összegét, az így kapott szám ugyanannyi maradékot ad 9-cel osztva, mint

4 r

. Másrészt ez a szám a keresett számból a jegyek felcserélésével kapható, tehát ugyanannyi maradékot ad 9-cel osztva, mint az:

r

-et. Így

4 r

-et 9-cel osztva a maradék

r

, vagyis

3 r

osztható 9-cel,

r

osztható 3-mal, tehát a keresett szám is.
Másrészt korlátokat keresünk a szám jegyeire. A keresett számot

10 x + y

-nal jelölve a kétszeri hozzáadással keletkező szám, amely a jegyek felcserélésével írható,

10 y + x

, a növekedés

\begin{matrix} 10 y + x - (10 x + y) = 9 (y - x) . \end{matrix}

Ez egyrészt 9-cel osztható, másrészt pozitív, tehát

x < y

. Ez a növekedés a keresett számból 4 számjegy hozzáadásával keletkezik, melyek közt van legalább két különböző (

x

és

y

), így összegük legfeljebb

3 \cdot 9 + 8 = 35

lehet, tehát

\begin{matrix} 9 (y - x) \leq 35, így y - x \leq 3, \end{matrix}

a keresett szám jegyeire tehát

\begin{matrix} x < y \leq x + 3. \end{matrix}

Ilyen tulajdonságú kétjegyű, 3-mal osztható számok a következők:

\begin{matrix} 12, 24, 36, 45, 57, 69, 78. \end{matrix}

Ezeket kipróbálva adódik, hogy 12 és 69 a feladat megoldásai.