A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megjegyzés: Egyenlő szárú trapézon olyant szokás érteni, amely szimmetrikus a párhuzamos oldalakra merőleges tengelyre nézve, és az alábbiakban mi is ezt fogjuk érteni rajta. Az elnevezés jelentése szerint minden paralelogramma is trapéz egyenlő szárakkal (és egyenlő párhuzamos oldalakkal). Így ha , és a paralelogrammákat is tekintetbe vesszük, akkor egy hosszúságú szakasz mint átmérő fölé rajzolt félkör bármely pontjából mint egyik csúcsból rajzolva olyan paralelogrammát, amelyiknek középvonala, a feltételeknek megfelelő, ,,egyenlő szárú trapéz''-t kapunk, a terület tehát határozatlan. Így csak érdektelen eseteket zártunk ki. Az esetet is kizárhatjuk, mert ebben az esetben az elfogadott értelmezés mellett trapézunk téglalap, és így mindegyik oldal felezőpontjának vetülete a szemben levő oldalon annak a felezőpontja.
1. ábra I. megoldás. Ha -t és -t ismerjük, akkor elég a magasság meghatározása a terület kiszámításához. Ehhez tájékozódunk először a trapéz alakjáról. Legyen a szár felezőpontja , vetülete a száron a csúcs. Ekkor a szögtartomány belsejében van, s így tehát -nél és a szimmetria folytán -nél is tompa szög van. Így, ha , akkor , . Tükrözzük a háromszöget az pontra. Ekkor a pont -ba kerül, pedig a és szakaszok meghosszabbításainak metszéspontjába. Így a trapéz területe egyenlő a derékszögű háromszögével. Jelöljük a pont vetületét -n -mel és -et -mel, így és, felhasználva a derékszögű háromszög magasságának mértani közép tulajdonságát, meghatározására tekintsük a pont vetületét is az oldalon. Egyrészt , másrészt a szimmetria miatt és mivel a kettő együtt a párhuzamos oldalak különbségét adja, így
és a trapéz területe
2. ábra II. megoldás. Az magasság meghatározására vegyük figyelembe, hogy a trapéz szimmetriája folytán a szár felezőpontjának az száron a vetülete a csúcs, a és derékszögű háromszögek egybevágók. Tükrözzük a háromszöget -re. Mivel a középvonal -től és -től egyenlő távol fut, velük párhuzamosan, így tükörképe az -n levő vetülete. A négyszög szemben fekvő oldalai egyenlők, így a négyszög paralelogramma, éspedig téglalap, mert -nél (és -nél) levő szögéről tudjuk, hogy derékszög. Ennek folytán átlói egyenlők: , és a derékszögű háromszögből | |
Megjegyzés: Több más út is választható meghatározására, vagy kiszámíthatjuk a szár hosszát és annak ismeretében az I. megoldásban szereplő háromszög befogóját, a területet pedig a összefüggésből. A fenti két számítás látszik még legegyszerűbbnek.
3. ábra |