A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Azt fogjuk megmutatni, hogy az pont minden helyzeténél a egyenes párhuzamos -val, ehhez azonban előbb megvizsgáljuk a pont lehetséges helyzeteit a körhöz és -hez viszonyítva. Van az , pontpárnak egy olyan helyzete, amelyben a -hoz húzott második érintők párhuzamosak. Ezt a pontpárt úgy kaphatjuk meg, hogy -nak az -ra merőleges átmérője végpontjaiban, (, -ben) húzunk érintőket. Ezek -ra szimmetrikus pontpárt metszenek ki -ből, mert a köztük levő sáv középvonala. Ha , a sávon kívül van, akkor , a -t tartalmazó , félkörön van, így a második érintők metszik egymást, még pedig -nek azon a partján, amelyiken van; így a háromszögnek beírt köre (4. ábra).
4. ábra 5. ábra Ha , a két párhuzamos közt van, akkor , a -t tartalmazó , félkörön van, így most is metszik egymást az érintők. Ha az , pontpár közrefogja -t, akkor és is közrefogja -t a félkörön. Ekkor a érintő ellenkező partján keletkezik, mint , és a háromszög oldalához hozzáírt kör (5. ábra). Ha és egyike -be esik, és ez különbözik -tól, akkor ebből a pontból nem húzható -től különböző érintő, viszont tekinthetjük a második érintőnek is -t. A másik pont ekkor -nek -ra vonatkozó tükörképe, és ez a két második érintő metszéspontja is, tehát a mértani helynek az és mondott helyzetéhez tartozó pontja is. Ha végül az és pontok egyike és közé esik, akkor a másik pontból húzott érintőnek az érintkezési pont és a egyenes közé eső szakaszán keletkezik. Ekkor a háromszög egyik olyan hozzáírt köre, amelyik az oldal meghosszabbítását érinti (6. ábra).
6. ábra Ha egybeesik -vel, akkor is, is, az , pontpár is, így a belőlük húzott érintőpár is tükrös a egyenesre, tehát a pont ezen az egyenesen van. Az egyenes bármely a körön kívüli pontjából két szimmetrikus érintő húzható -hoz, ezek szimmetrikus , pontpárt metszenek ki -ből, amiből kiindulva éppen a kiszemelt pontot kapjuk meg. A és pontban csak egy-egy érintő húzható -hoz; az utóbbi nem metszi -t, az előbbi viszont éppen , így nem adható meg olyan pontpár, amelyikből kiindulva -t vagy -t kapnánk a mértani hely pontjaiként. Ebben az esetben tehát a egyenes -n kívüli két félegyenese a keresett mértani hely. (A és egyenes ebben az esetben egybeesik, ami megfelel állításunknak.) Tegyük fel a továbbiakban, hogy és különböző. Nyilvánvaló, hogy és felcserélésével ismét -ra tükrös pontpárt kapunk, a hozzájuk tartozó pont pedig nem változik. Így elegendő azokat a pontokat vizsgálni, amelyek az -ból -n át húzott félegyenesen levő pontokhoz tartoznak; hiszen ha a másik félegyenesen fut végig, akkor az előbbi pontokhoz tartozó mértani helyet futja be mégegyszer. Térjünk most állításunk bizonyítására. Az pont a háromszög -ből induló belső vagy külső szögfelezőjén van, aszerint hogy az szakaszt érinti, vagy annak meghosszabbítását. Jelöljük a kérdéses szögfelező és a háromszög köré írt kör metszéspontját -vel. A belső szögfelező metszéspontja a -t nem tartalmazó ív felezőpontja, mivel pedig a belső és külső szögfelező egymásra merőleges, így és a két szögfelező -val való metszéspontja derékszögű háromszöget alkot. Ennek átfogója a körnek átmérője. Így a külső szögfelező a körülírt kört a belső szögfelező metszéspontjával árellenes pontban, vagyis a -t tartalmazó ív felezőpontjában metszi. Bármelyik pontból bocsátunk is merőlegest -re, az azt felezőpontjában, -ban metszi. Állításunkat úgy bizonyítjuk, hogy megmutatjuk mindegyik esetben a és háromszögek hasonlóságát. Könnyű látni, hogy az és derékszögű háromszögek hasonlók. Valóban, ha a -nél levő belső szög felezőjén van, akkor a kerületi szögek összefüggését felhasználva | | Ha pedig a külső szögfelezőn van, akkor | | Az és háromszög szögei tehát mindkét esetben megegyeznek s így Itt , mint körsugár, egyenlő -vel, állításunk igazolásához így szükségünk van annak a megmutatására, hogy . Ha a háromszög beírt köre, akkor is a háromszög belső szögfelezője, s így, mint az háromszög külső szöge | |
Ha az oldalhoz hozzáírt kör, akkor a háromszög külső szögét felezi, s így ismét az háromszögből indulva ki
Ha a háromszög oldalához hozzáírt kör, akkor is, is a háromszög megfelelő külső szögét felezi, s így ismét az háromszögből indulva ki
Eszerint az háromszög -vel és -mel szemben levő szögei mindhárom esetben egyenlők, s így valóban . Ezt, továbbá az említett egyenlőséget felhasználva (1)-ből Az és háromszögek itt szereplő oldalai párhuzamosak. Az első esetben a egyenes ellenkező partján van, mint , s így és ellenkező irányban, és pedig egy irányban párhuzamos, és szintén. A második és harmadik esetben és a egyenes egy partján van, így és ellenkező irányban párhuzamos. Másrészt a második esetben az szakaszon van, a harmadik esetben a szakasz -n túli meghosszabbításán, így és is ellenkező irányban párhuzamosak. Ennek folytán az és háromszög mindhárom esetben hasonló, mert két oldaluk aránya és a köztük levő szög megegyezik, és hasonló helyzetű is. Így a harmadik oldalpár is párhuzamos: Eszerint mindig a ponton át az ( ponttól független) egyenessel párhuzamos egyenesen van. Nyilván nem lehet az egyenes körbe eső húrján.
Ha az egyenes egy a körön kívüli és nem a -n levő pontja, akkor húzzuk meg belőle az egyik érintőt -hoz és tükrözzük ennek -vel való metszéspontját -ra. Az így kapott pontpárt választva , -nek, az ezekből húzott érintők metszik egymást, mert csak az -val (s így -vel is) párhuzamos érintőpár nem metszi egymást. A metszéspont egyrészt a bizonyítottak szerint -n van, másrészt a meghúzott érintőn, tehát a kiválasztott pont. Legyen metszéspontja -vel (7. ábra), ekkor párhuzamos a háromszög oldalával és a oldal felezőpontjából indul ki, tehát a háromszög középvonala; így felezi a szakaszt, vagyis a pont tükörképe -ra, de ekkor, mint a megoldás elején láttuk, a mértani hely , pontpárhoz tartozó pontja .
7. ábra Vizsgáljuk meg végül metszéspontjait -val. A -ben húzott érintő párhuzamos -vel, nem keletkezhet tehát annak semelyik pontjából húzott érintőként, és nem megy át rajta a kör más pontjához húzott érintő sem. Így nem tartozik a mértani helyhez. A másik metszéspont nem más, mint az -ból -hoz húzott második érintő érintési pontja, ugyanis -ra tükrözve -t a tükörkép egyrészt -n van, mert annak középpontján átmenő egyenesre tükröztünk, másrészt -n, mert egy háromszög egy csúcsát a szemközti oldallal párhuzamos középvonalra tükrözve a tükörkép a szemközti oldalán van. Így tükörképe csak lehet, és az egyenes tükörképe, tehát érinti a kört. Eszerint az -ben húzott érintő -ban metszi -t. Ez a pont saját tükörképe, egybeeső , pontpárt kapunk, a belőlük húzott második érintők is egybeesnek, tehát nincs meghatározott metszéspontjuk, s így nem tartozik a mértani helyhez. A keresett mértani hely tehát a -n át -val párhuzamosan húzott (vagy -n és az -ból húzott érintő érintési pontján át, vagy -n és a pont -ra vonatkozó tükörképén át húzott) egyenesnek a -n kívül eső két félegyeneséből áll.
II. megoldás. A pont lehetséges helyzeteire vonatkozó megállapításokat nem ismételjük meg és csak azt az esetet vizsgáljuk, ha . Legyen a pont tükörképe -ra. Azt fogjuk megmutatni, hogy mindig a egyenesen van, mégpedig úgy, hogy először belátjuk, hogy ha a háromszög beírt köre, akkor az oldalhoz hozzáírt kör érintési pontja, ha az oldalhoz hozzáírt kör, akkor a beírt kör érintési pontja, ha pedig az oldalhoz hozzáírt kör, akkor az oldalhoz hozzáirt kör érintési pontja. Jelöljük a második kört mindhárom esetben -gal, középpontját -gal. Az első két esetben a -ből induló oldalak és közös külső érintői, pedig az egyik közös belső érintő, a harmadik esetben pedig a -n átmenő érintők a közös belső érintők, pedig az egyik külső közös érintő. Állításunk ennek folytán úgy fogalmazható, hogy két kör egy közös külső érintőjén az érintési pontok közti szakasz, és a belső érintők metszéspontjai közti szakasz felezőpontja közös, és hasonlóan egy belső közös érintőn az érintési pontok és a külső közös érintők metszéspontja közti szakasz középpontja szintén azonos. Ezt fogjuk először bizonyítani.
8. ábra Legyen tehát két kör két közös külső érintőjének metszéspontja , az egyik érintő érintse a köröket , ill. pontban, a másik , ill. -ben (8. ábra). Egy közös belső érintő messe az előbbit egy pontban, az utóbbit -ben, és legyen az -hez közelebbi érintési pont , a másik . Ekkor az egy pontból egy körhöz húzható érintők egyenlősége folytán | | és hasonlóan
.
Mivel még és , így kell, hogy amiből . Ez pedig éppen azt jelenti, hogy az és szakaszok felezőpontja egybeesik.
9. ábra Hasonló jelöléseket használva két közös belső érintő esetén (9. ábra) | | és hasonlóan | | A két összefüggésből, mivel , , így ismét következik, hogy , s így az és szakaszok felezőpontja ez esetben is egybeesik. Ez feladatunkra alkalmazva valóban azt adja, hogy mind a három esetben és körök és érintési pontjai egymás tükörképei az szakasz felezőpontjára nézve, és ezt akartuk belátni. az első két esetben és külső hasonlósági pontja, a harmadik esetben pedig belső hasonlósági pontjuk, így következik, hogy , és egy egyenesen vannak, ha belátjuk, hogy a mondott középpontú hasonlóságoknál a és pont mindig megfelelő pontok. Az első és második esetben és különböző oldalán van (10. ábra), így , ellenkező irányban merőlegesek -re, és tehát egyirányú párhuzamos sugarak, így a külső hasonlósági pontra nézve és a két kör egymásnak megfelelő pontjai.
10. ábra 11. ábra A harmadik esetben és -nek ugyanazon az oldalán van (11. ábra), így és egy irányban, és tehát ellenkező irányban párhuzamosak. most belső hasonlósági pont, erre nézve és ismét egymásnak megfelelő pontok. Ezzel bebizonyítottuk, hogy , és mindig egy egyenesen van, vagyis, mivel a és pontok nem változnak -mel, a mértani hely pontjai a egyenesen vannak. Az, hogy ennek az egyenesnek mely pontjai tartoznak a mértani helyhez, az előbbi megoldáshoz teljesen hasonlóan tárgyalható. Ezt itt nem ismételjük meg. A versenyzők legtöbbje a koordinátageometria módszereivel kereste a mértani helyet. Bemutatunk egy ilyen megoldást.
III. megoldás. Válasszuk origónak a kör középpontját, távolságegységének a sugarát, és az -tengely legyen párhuzamos -vel úgy, hogy a pontban érintse -t. Jelöljük abszcisszáját -val, tehát az pont (12. ábra). Az és pontok a -n vannak, tehát , ill. alakúak a koordinátáik. Mivel a köztük levő szakasz felezőpontja , így 12. ábra Az , ill. pontból húzott érintő érintse a kört a , ill. pontban. Ekkor mert a pontok a körön vannak. Az sugár iránytangense (ha ), így a -n át -ra merőlegesen haladó egyenes egyenlete (ha ) | | Az egyenlet megadja a -n átmenő érintőt az , vagy ) és a (, vagy ) esetben is. Ez az érintő átmegy -en, tehát és ezt (2)-be írva | | Hagyjuk egyelőre figyelmen kívül az esetet, ekkor | | és az pontból húzott érintő egyenlete így írható: Hasonlóan az ponton átmenő érintő egyenlete: A metszéspont , koordinátáit kiszámíthatjuk pl. úgy, hogy az első egyenlet -szöröséből levonjuk a második -szeresét:
Ismét hagyjuk figyelmen kívül egyelőre a esetet (amikor és egybeesik, s így megegyezik -val), ekkor, amennyiben , és ha , akkor pl. az -ből húzott érintő egyenletéből | | (5) | (Felhasználtuk az (1) összefüggést.) Az utóbbi egyenletből, ha és ezt kifejezésbe beírva | |
A keresett mértani hely pontjai tehát az egyenesen vannak, eltekintve esetleg a figyelmen kívül hagyott esetekhez tartozó pontoktól. Vizsgáljuk meg, hogy (7) mely pontjai keletkeznek mint alkalmas és pontokból húzott érintők metszéspontjai. Ezek azok a pontok, amelyek koordinátái alkalmas és (valós) számokkal (4), (5) alakban írhatók. Az ilyen (és (1) szerint neki megfelelő ) értéket az -ből húzott érintő (3) egyenletéből számíthatjuk ki. Azt szerint rendezve Innen tehát azokhoz az , értékpárokhoz, az egyenesnek azokhoz a pontjaihoz tartozik ilyen érték, amelyekre vagyis amelyek nincsenek a körben, és amelyekre , tehát a körrel való metszéspontot is figyelmen kívül kell hagynunk. A második metszéspontra , de , így, felhasználva (7)-et ekkor (1)-ből . Az és pont tehát egybeesik (és azonos -val), így nincs a belőlük húzott érintőknek meghatározott metszéspontja. Ez a pont sem tartozik tehát a mértani helyhez. Ezzel a korábban kizárt esetet is elintéztük, mert (1) szerint ekkor közös értékük csak lehet. Meg kell még vizsgálnunk a korábban a tárgyalásból kizárt eseteket, hogy tartozik-e azokhoz és milyen pontja a mértani helynek. Természetesen minden kizárt esettel együtt az helyett -re vonatkozó megfelelő esetet is tárgyalni kell, ez azonban a két pont szimmetrikus szerepe miatt nem fog külön feladatot jelenteni. Korábban figyelmen kívül hagytuk az értéket. A (7) egyenes ehhez tartozó pontjának ordinátája , és éppen láttuk, hogy ez sem tartozik a mértani helyhez. Kizártuk azt, hogy az (vagy ) pontból húzott érintő érintési pontjának (vagy ) abszcisszája legyen. Ebben az esetben az érintési pont csak vagy lehet. Az előbbi eshetőséget már éppen kizártuk. Az -ből és -ből húzott ,,második'', azaz -től különböző érintő viszont a -től különböző pontban érinti -t, kivéve, ha (ill. ) éppen a pont. Ekkor tekinthetjük ,,második'' érintőnek is a egyenest. Mivel ekkor (vagy ) , (1) miatta másik pont a pont, és a két érintő metszéspontja is ez a pont, ami a (7) egyenes metszéspontja -vel. Ezt tehát a mértani helyhez tartozónak tekinthetjük. Ezzel egyszersmind a és esetet is megtárgyaltuk. Kizártuk végül korábban a esetet. Ekkor pl. az -ből húzott érintő (3) egyenletét -ra redukálva és -tel szorozva | | Ez párhuzamos a másik érintővel, melynek (3a) egyenlete alakban írható, de különbözik attól, tehát az ilyen , értékpárhoz nem tartozik metszéspont. Ezzel bebizonyítottuk, hogy a keresett mértani hely az egyenesnek a körön kívül eső két félegyenese, ami nem más, mint az -ból húzott érintő érintési pontját és a érintési pontjával átellenes pontot összekötő húrnak a körön kívüli meghosszabbítása mindkét irányban.
Megjegyzések. 1. A esetben (1)-ből , azaz , és így az -ből húzott érintő egyenlete ilyen alakban írható: | | Ez párhuzamos a mértani hellyel. A föntiek szerint ugyanez áll az -ből húzott érintőre is. 2. A két érintő egyenletéből még egyszerűbben jutunk a mértani hely egyenletéhez, ha a két érintő -ra redukált egyenletének különbségét képezzük és felhasználjuk (1)-et:
Ha az pont rajta van mind a két érintőn, akkor kielégíti az utolsó egyenletet és ha , akkor (7)-et is. Azt a értéket, amely egy adott ponthoz vezet, most is ugyanúgy kereshetjük meg, mint az előbb. 3. Sok versenyző nem kereste a számítások lehetőleg egyszerű útját, és így nem maradt kellő ideje terve teljes végrehajtására. |