Kezdőlap


Feladat:	1962. évi Matematika OKTV I. forduló 3. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1962/szeptember, 9 - 10. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, OKTV
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/szeptember: 1962. évi Matematika OKTV I. forduló 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $a$ és $b$ félegyenesek közös kezdőpontját jelöljük $C$ -vel, a két kör középpontját $O_{1}$ -gyel és $O_{2}$ -vel, e három pont vetületét az $A B$ egyenesen $T$ -vel, $F_{1}$ -gyel és $F_{2}$ -vel. A vizsgálandó húrok egyenlősége helyett nyilván elegendő a felüknek, $A F_{1}$ -nek és $B F_{2}$ -nek az egyenlőségét kimutatni.

1. ábra

O_{1}

nem esik az

A B

egyenesre (azaz

B A C ∢ \neq 90^{\circ}

, akkor az

A O_{1} F_{1}

és a

C A T

derékszögű háromszögekben az

A

-nál, illetőleg

C

-nél levő szögek merőleges szárú hegyes szögek, ezért egyenlők, s így a két háromszög hasonló, tehát megfelelő oldalaik aránya egyenlő:

\begin{matrix} A F_{1} : A O_{1} = C T : C A, \end{matrix}

ebből

\begin{matrix} A F_{1} = \frac{A O_{1}}{C A} \cdot C T . \end{matrix}

(1)

Ugyanígy a

B O_{2} F_{2}

és

C B T

háromszögek hasonlósága alapján (hacsak

A B C ∢ \neq 90^{\circ}

)

\begin{matrix} B F_{2} = \frac{B O_{2}}{C B} \cdot C T . \end{matrix}

(2)

Az állítás igazolásához most már elegendő az

A O_{1} / C A

és

B O_{2} / C B

arányok egyenlőségét belátnunk. Ez viszont fennáll, mert tagjaik a

C A O_{1}

és a

C B O_{2}

derékszögű háromszögek befogói, e háromszögek pedig hasonlók, mert

C

-nél levő szögük az

a

és

b

félegyenesek hajlásszögének negyedrésze.
Az ábrán az

A B C

háromszög

A

-nál és

B

-nél levő szöge hegyesszög, meggondolásunk azonban akkor is helyes marad, ha valamelyik (pl. az

A

-nál levő) szög tompaszög.
Abban az esetben viszont, ha pl.

C A O_{1} ∢ \neq 90^{\circ}

, az

A B

egyenes átmegy

O_{1}

-en, a

T

pont egybeesik

A

-val, így

\begin{matrix} A F_{1} = A O_{1} = \frac{A O_{1}}{C A} \cdot C A = \frac{A O_{1}}{C A} \cdot C T, \end{matrix}

tehát az (1) összefüggés ebben az esetben is fennáll. A bizonyítás további része változatlanul alkalmazható ebben az esetben is.

2. ábra

Megjegyzés. Az (1) és (2) összefüggések levezetésében nem használtuk ki, hogy

f

szögfelező; ezek még akkor is fennállnak, ha

f

a

és

b

határolta konkáv szögtérben van. (Ekkor a két kör érintési pontja

f

-en közrefogja

C

-t.)

A O_{1} / A C

, ill.

B O_{2} / B C

általában azon szögek felének a tangense, amelyet

f

-nek

k_{1}

-et érintő félegyenese

a

-val, ill.

k_{2}

-t érintő félegyenese

b

-vel zár be. Ezeket a félszögeket

δ

-val, ill.

ε

-nal jelölve (1) és (2) alapján a két körből kimetszett húrok hosszának arányára (ismét a húrok felével számolva)

\begin{matrix} \frac{A F_{1}}{B F_{2}} = \frac{tgδ}{tgε} . \end{matrix}