Kezdőlap


Feladat:	1962. évi Matematika OKTV I. forduló 2. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1962/szeptember, 8 - 9. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Oszthatósági feladatok, Magasabb fokú egyenlőtlenségek, OKTV
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/szeptember: 1962. évi Matematika OKTV I. forduló 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha létezik a feltételnek megfelelő $x$ szám, akkor az kétjegyű, mert a 7-jegyű $10^{6}$ számnál nagyobb, de a 13-jegyű $100^{6}$ -nál kisebb a hatodik hatványa. Szűkebb korlátokat adnak $x^{6}$ -ra az adott számjegyekkel írható legkisebb és legnagyobb szám. Mivel 0 az első helyen nem állhat, így azt nyerjük, hogy

\begin{matrix} 203 447 889 \leq x^{6} \leq 988 744 320. \end{matrix}

A felső korlátot kissé növelve

\begin{matrix} x^{6} < 10^{9}, x^{2} < 10^{3}, x < \sqrt[]{1000} < 32. \end{matrix}

Az alsó korlát minden esetre lényegesen nagyobb

20^{6} (= 64 000 000)

-nál, viszont kisebb, mint

25^{6} = {(625)}^{3} > {(600)}^{3} = 216 000 000

. Továbbmenve

24^{6} = {({(3 \cdot 8)}^{3})}^{2} = {(27 \cdot 512)}^{2} = 13 824^{2} < 14 000^{2} = 196 000 000

már kisebb, mint az alsó korlát. Így a keresett szám 24 és 32 közé eshet csak (a határokat nem engedve meg).¹
Vegyük észre, hogy az

x^{6}

-ra megadott számjegyek összege osztható 3-mal, vagyis

x^{6}

is osztható 3-mal. Ez csak úgy lehet, ha maga

x

is 3-mal osztható (3-mal nem osztható szám semmilyen hatványa sem osztható 3-mal). A 24-nél nagyobb és 32-nél kisebb természetes számok közül csak a 27 és a 30 osztható 3-mal, de 30 nem lehet a feladat megoldása, mert hatodik hatványa 6 db 0-ra végződik. Viszont

27^{6} = 387 420 489

, a jegyek megegyeznek az adottakkal, tehát

x = 27

Megjegyzések. 1. A 3-mal való oszthatóság helyett a feladatnak megfelelő számot végződése alapján is kiválaszthatjuk. Ha ugyanis

x

végződése rendre

\begin{matrix} 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, \end{matrix}

akkor

x^{6}

végződése rendre

\begin{matrix} 0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1. \end{matrix}

Mivel az adott számjegyek között 1, 5 és 6 nem szerepel, a már kiszámított korlátok közti számok közül

x

csak 27, 28 vagy 30 lehet. 30 a már említett ok miatt nem felel meg,

28^{6}

jegyei nem a megadottak, 27 viszont megfelel.
2. Több versenyző

x^{6}

-nak 9-cel való oszthatóságából

x

-nek 9-cel való oszthatóságára következtetett, és a kiszámított korlátok között egyedüli lehetőségként a 27-et jelölte meg. Ez a következtetés hamis, mert pl.

3^{6}

osztható 9-cel, de maga az alap: 3 nem.

¹Az

x^{6}

-ra nyert egyenlőtlenségpárból leggyorsabban logaritmus segítségével kaphatunk

x

-re korlátokat. Mivel kétjegyű korlátot keresünk, elég négy (sőt akár 3) értékes jegyet tartani meg a 9-jegyű számokból, persze az alsó korlátot közben lefelé, a felsőt fölfelé kerekítve.