Feladat: 1962. évi Matematika OKTV I. forduló 1. feladata Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1962/szeptember, 7 - 8. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Nevezetes azonosságok, OKTV
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1962/szeptember: 1962. évi Matematika OKTV I. forduló 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Nem nehéz meghatározni a szóban forgó két számot ‐ jelöljük ezeket x és y-nal ‐, majd negyedik hatványaik összegét. A feladat szerint

x+y=10,xy=4,
így x és y a
z2-10z+4=0
másodfokú egyenlet két gyöke, vagyis +5+21 és +5-21 (bármelyiket tekinthetjük x-nek, a másik az y). Negyedik hatványaik összege
(5+21)4+(5-21)4=((5+21)2)2+((5-21)2)2==(46+1021)2+(46-1021)2=2(462+102⋅21)=8432.



II. megoldás. A feladatot egyszerűbben is megoldhatjuk, anélkül, hogy a két számot kiszámítanánk. Két szám negyedik hatványainak az összegét ugyanis általában kifejezhetjük a két szám összegének ‐ jelöljük p-vel ‐ és szorzatának ‐ jelöljük q-val ‐ a segítségével:
x4+y4=(x2+y2)2-2x2y2=((x+y)2-2xy)2-2(xy)2==(p2-2q)2-2q2=p4-4p2q+2q2.


A p=10 és q=4 adatok behelyettesítésével:
x4+y4=8432.

Megjegyzések. 1. A két szám negyedik hatványainak összegét az összegük és szorzatuk segítségével többféleképpen is felírhatjuk, pl.
(x+y)4=x4+y4+4x3y+4xy3+6x2y2=x4+y4+4xy(x2+y2)++6(xy)2=x4+y4+4xy((x+y)2-2xy)+6(xy)2.


Innen x4+y4-t kifejezve rendezés után ismét a fönti kifejezést nyerjük.
2. Az x4+y4 polinom nem változik meg, ha benne x-et és y-t felcseréljük, ugyanez áll az x+y és xy polinomokra is. Általában az x1, x2, ..., xn változók egy polinomját szimmetrikus polinomnak nevezzük, ha a változói helyébe ugyanezeket a változókat egy tetszés szerinti más sorrendben írva be a polinom nem változik meg (legfeljebb a tagok sorrendje változik). Ha k≤n, az x1, x2, ..., xn változókból képezhető összes k-tényezős szorzatok összegét a változók (k-adfokú) elemi szimmetrikus polinomjának nevezzük. Mármost az algebra egy nevezetes tétele szerint minden szimmetrikus polinom kifejezhető a változói elemi szimmetrikus polinomjainak a polinomjaként. Ez a kifejezés (összevont alakban) a tagok sorrendjétől eltekintve egyértelmű.
Ezt a kifejezést állítottuk elő a II. megoldásban, és nem véletlen, hogy ugyanarra az eredményre vezet az 1. megjegyzés átalakítása is.