Kezdőlap


Feladat:	1961. évi Matematika OKTV I. forduló 3. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1961/október, 51 - 53. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Nevezetes azonosságok, OKTV
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/szeptember: 1961. évi Matematika OKTV I. forduló 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az (1) és (2) egyenletekből

\begin{matrix} {(x + y)}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = (a^{2} - a) {(\sqrt[]{x} - \sqrt[]{y})}^{2}, \\ 2 x y = a (a - 1) {(\sqrt[]{x} - \sqrt[]{y})}^{2} . & (3) \end{matrix}

Ezt felhasználva a

{(\sqrt[]{x} - \sqrt[]{y})}^{2}

kifejezést fogjuk átalakítani. Tagokra bontva és (1)-et felhasználva

\begin{matrix} {(\sqrt[]{x} - \sqrt[]{y})}^{2} = x + y - 2 \sqrt[]{x y} = a (\sqrt[]{x} - \sqrt[]{y}) - 2 \sqrt[]{x y} . \end{matrix}

A jobb oldal utolsó tagját (3) alapján így alakíthatjuk át:

\begin{matrix} 2 \sqrt[]{x y} = \sqrt[]{4 x y} = \sqrt[]{2 a (a - 1)} (\sqrt[]{x} - \sqrt[]{y}) . \end{matrix}

(4)

Ezt behelyettesítve

\begin{matrix} {(\sqrt[]{x} - \sqrt[]{y})}^{2} = (a - \sqrt[]{2 a (a - 1)}) (\sqrt[]{x} - \sqrt[]{y}) . \end{matrix}

Innen, ha

\sqrt[]{x} - \sqrt[]{y} \neq 0

, akkor

\begin{matrix} \sqrt[]{x} - \sqrt[]{y} = a - \sqrt[]{2 a (a - 1)}, \end{matrix}

(5)

ha pedig

\sqrt[]{x} - \sqrt[]{y} = 0

, akkor (2)-ből

x = y = 0

adódik, ami

a

tetszés szerinti értéke mellett megoldása az egyenletrendszernek. A továbbiakban csak az ettől különböző megoldásokat keressük.
Meg tudjuk határozni

\sqrt[]{x} - \sqrt[]{y}

-hoz hasonlóan

\sqrt[]{x} + \sqrt[]{y}

-t is, a négyzetét alakítva át (1), (4) és (5) felhasználásával:

\begin{matrix} {(\sqrt[]{x} + \sqrt[]{y})}^{2} = x + y + 2 \sqrt[]{x y} = a (\sqrt[]{x} - \sqrt[]{y}) + \sqrt[]{2 a (a - 1)} (\sqrt[]{x} - \sqrt[]{y}) = \\ = (a + \sqrt[]{2 a (a - 1)}) (a - \sqrt[]{2 a (a - 1)}) = a^{2} - 2 a (a - 1) = a (2 - a) . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} \sqrt[]{x} + \sqrt[]{y} = \sqrt[]{a (2 - a)} . \end{matrix}

(6)

(5) és (6)-ból

\begin{matrix} \sqrt[]{x} = \frac{1}{2} (\sqrt[]{a (2 - a)} - \sqrt[]{2 a (a - 1)} + a), & (7) \\ \sqrt[]{y} = \frac{1}{2} (\sqrt[]{a (2 - a)} + \sqrt[]{2 a (a - 1)} - a) . & (8) \end{matrix}

Végül négyzetre emeléssel

\begin{matrix} x = \frac{1}{4} [a (2 - a) + 2 a (a - 1) + a^{2} + 2 a \sqrt[]{a (2 - a)} - 2 a \sqrt[]{2 a (a - 1)} - \\ - 2 \sqrt[]{a (2 - a) 2 a (a - 1)}] = \\ = \frac{1}{4} (2 a^{2} + 2 a \sqrt[]{a (2 - a)} - 2 a \sqrt[]{2 a (a - 1)} - 2 \sqrt[]{a (2 - a) 2 a (a - 1)}), \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} x = \frac{1}{2} (a + \sqrt[]{a (2 - a)}) (a - \sqrt[]{2 a (a - 1)}) . \end{matrix}

(9)

Ugyanígy nyerjük, hogy

\begin{matrix} y = \frac{1}{2} (a - \sqrt[]{a (2 - a)}) (a - \sqrt[]{2 a (a - 1)}) . \end{matrix}

(10)

Ezek szerint csak (9) és (10) adhatja a feladat megoldását ‐ eltekintve

x = y = 0

-tól ‐, feltéve, hogy értelemmel bír a valós számok körében, azaz sem

a (2 - a)

, sem

2 a (a - 1)

nem negatív. Az első kifejezés

a

negatív és 2-nél nagyobb értékeire negatív, a második azokra, amelyekre

0 < a < 1

. Így csak

a = 0

és

1 \leq a \leq 2

értékek jönnek tekintetbe. Az

a = 0

és

a = 2

értékre (9) és (10) a már tárgyalt

x = y = 0

megoldást adja,

1 \leq a < 2

-re ettől különböző értékpárokat. Az is világos, hogy az

x

-re és

y

-ra (amik (1) és (2)-ben négyzetgyökjel alatt is szerepelnek) kapott értékek nem negatívok, mert a

\sqrt[]{x}

-re és

\sqrt[]{y}

-ra kapott (7) és (8) kifejezések is valós számot adnak a szóba jövő

a

-értékekre,

x

és

y

pedig ezekből négyzetre emeléssel keletkezett.
Megmutatjuk még, hogy az

\sqrt[]{x}

-re

\sqrt[]{y}

-ra kapott kifejezések sem negatívok. Ekkor ezen kifejezéseket is felhasználva behelyettesítéssel könnyen látható, hogy (9) és (10) valóban megoldását adja az egyenletrendszernek. (7)-ből a

\begin{matrix} \sqrt[]{x} = \frac{1}{2} (\sqrt[]{a (2 - a)} - \sqrt[]{2 a (a - 1)} + a) = \frac{\sqrt[]{a}}{2} (\sqrt[]{a} + \sqrt[]{2 - a} - \sqrt[]{2 (a - 1)}) \end{matrix}

kifejezés a pozitív

\sqrt[]{a} + \sqrt[]{2 - a} + \sqrt[]{2 (a - 1)}

-gyel megszorozva a következőt kapjuk:

\begin{matrix} \frac{\sqrt[]{a}}{2} [{(\sqrt[]{a} + \sqrt[]{2 - a})}^{2} - 2 (a - 1)] = \frac{\sqrt[]{a}}{2} (a + 2 - a + 2 \sqrt[]{a (2 - a)} - 2 a + 2) = \\ = \sqrt[]{a} (\sqrt[]{a (2 - a)} + 2 - a) . \end{matrix}

1 \leq a < 2

-re pozitív, tehát (7) jobb oldala is. Hasonlóan (8)-ból

\begin{matrix} \sqrt[]{y} (\sqrt[]{2 - a} + \sqrt[]{2 (a - 1)} + \sqrt[]{a}) = \frac{\sqrt[]{a}}{2} [{(\sqrt[]{2 - a} + \sqrt[]{2 (a - 1)})}^{2} - a] = \\ = \frac{\sqrt[]{a}}{2} (2 - a + 2 a - 2 + 2 \sqrt[]{2 (2 - a) (a - 1)} - a) = \sqrt[]{2 a (2 - a) (a - 1)} \geq 0, \end{matrix}

1 \leq a < 2

, tehát (8) bal oldala sem lehet negatív.
Ezzel beláttuk, hogy az (1), (2) egyenletrendszernek megoldása minden

a

mellett az

x = y = 0

értékpár. Ezen kívül

1 \leq a < 2

-re van megoldása, és azt a (7), (8) képletpár szolgáltatja.

Megjegyzések. 1. A közölt megoldás lényegében annak felel meg, hogy

\sqrt[]{x} + \sqrt[]{y}

és

\sqrt[]{x} - \sqrt[]{y}

helyett új változókat vezetünk be és először ezeket határozzuk meg.
2. Könnyen kiküszöbölhetjük az egyenletrendszerből a négyzetgyökös kifejezéseket, levonva a (2)

a

-szorosából (1) négyzetét:

\begin{matrix} a (x^{2} + y^{2}) - {(x + y)}^{2} = a^{2} {(\sqrt[]{x} - \sqrt[]{y})}^{2} - {[a (\sqrt[]{x} - \sqrt[]{y})]}^{2} = 0, \\ (a - 1) x^{2} - 2 x y + (a - 1) y^{2} = 0. \end{matrix}

Innen meghatározható az

y / x

hányados és ennek ismeretében (1)-ből

x

, majd

y

. Ezen az úton azonban kissé bonyolultabbak a számítások, mint a fenti megoldásban.