A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Húzzuk meg a négyszög és átlóit. Az és szakasz az , ill. háromszögben súlyvonal, tehát a háromszöget két egyenlő területű háromszögre osztja (8. ábra): 8. ábra (az idomok területét ugyanúgy jelöljük, mint magukat az idomokat). Ezekből összeadással mert az négyszög konvexsége folytán és az -nek ellentétes partján feküsznek, és ezért ugyanez áll és -re is. Figyelembe véve a és egyenesekkel való felbontást is, (2)-t így írhatjuk: | | (3) | (mindkét oldalon az négyszög területének fele áll). Hasonlóan a és súlyvonalakkal két-két egyenlő részre osztott és háromszögekből amit részletesebben így írhatunk: | | (5) | Már most (3) és (5) összegéből a két oldalon fellépő egyenlő tagok elhagyásával és 2-vel való osztással a bizonyítandó egyenlőséget kapjuk: II. megoldás: Ismeretes, hogy a trapézt átlói négy olyan háromszögre bontják, melyek közül a szárakra támaszkodók egyenlő területűek. Ezt a tételt fogjuk háromszor felhasználni. Feltehetjük, hogy és közül van távolabb -től. Húzzunk -n és -n át -vel párhuzamost és jelöljük ezeknek meghosszabbításával, ill. -fel való metszéspontját , ill. -vel (9. ábra), továbbá és metszéspontját -vel. 9. ábra és trapézok, így és Az és háromszögek együttesen nem takarják le az négyszöget, kinyúlik az , nincs lefedve az háromszög. Ha sikerül igazolnunk, hogy ezek egyenlő területűek, akkor a feladat tételét bebizonyítottuk. Ehhez viszont elegendő megmutatni, hogy párhuzamos -fel, mert ekkor az négyszög trapéz voltából következik állításunk. Jelöljük -nek és -fel való metszéspontját , ill. -val. Így az szakasszal együtt a vele párhuzamos szakaszt is felezi. Másrészt a és háromszögek egybevágóságából következik, hogy . Tehát , ill. a háromszög , ill. oldalának felezőpontja, és így valóban párhuzamos -vel. Ha és egyenlő távolságra esnek -től, akkor és egybeesnek -fel, és így az és háromszögek együtt pontosan lefedik az négyszöget. III. megoldás: Azt mutatjuk meg, hogy illetőleg e területeket 2, 2, ill. 3 idom területének összegeként felírva | | Innen ugyanis a két oldal egyenlő tagjainak elhagyásával a bizonyítandó tételt kapjuk. Valóban, , , -nek -n levő vetületét rendre , , -vel jelölve (8. ábra) a idom trapéz, és benne a középvonal, tehát Innen pedig mindkét oldalt -vel szorozva, majd az egyenlőségeket figyelembe véve | | adódik, ami állításunkat igazolja. Megjegyzések. 1. A feladat állítása általánosítható: a kimondott területegyenlőség akkor is fennáll, ha és az , ill. oldalt (nem felezi, hanem) ugyanolyan arányban osztja két-két részre: , azaz , és ugyanígy (10. ábra, itt ). 10. ábra Az állítás mindhárom fenti megoldás gondolatmenetével igazolható; alább az I. megoldás módosításával bizonyítjuk. Az ott szereplő (1)‐(3) egyenlőségek jobb oldala most a bal oldal -szorosával lesz egyenlő, (4) és (5) bal oldala viszont a jobb oldal -szorosával. Így a (3) és (5)-ből keletkezett egyenlőségek összegében 2 helyett -val osztva kapjuk az általánosítás állítását. Ez az általánosítás Bollobás Béla dolgozatában szerepel. 2. Könnyű belátni, hogy a nem konvex (vagyis az egy -nál nagyobb belső szöggel bíró, valamint a hurkolt) négyszögekre az állítás nem igaz.
|