A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Fejezzük ki az adott kapcsolatból -et -nal. Így megadhatjuk, mely -okhoz lehet -et kiszámítani, más szóval, hogy mely számokhoz van olyan érték, amelyre függvényünk az értéket veszi fel, vagyis mi függvényünk értékkészlete. Ebből már kiválaszthatjuk a keresett maximumot, ill. minimumot ‐ hacsak az értékkészletben van legnagyobb, ill. legkisebb szám. A nevező sehol sem 0, mert , ezért az átszorzással és rendezéssel adódó kapcsolat ekvivalens az eredetivel. Innen | | (1) | hacsak , és , ha . a gyökképletből akkor és csak akkor adódik valósnak, ha a diszkrimináns nem negatív, vagyis ha ‐ a másodfokú kifejezést mindjárt szorzattá alakítva ‐ Ez pedig nyilván akkor és csak akkor teljesül, ha Ez a kettős egyenlőtlenség írja le függvényünk teljes értékkészletét, mert ennek a külön úton nyert fenti szám is eleget tesz. Eszerint függvényünknek van maximuma is, minimuma is, éspedig az érték. Ezeket a függvény (1) szerint az helyen veszi fel. Megjegyzés. Néhány dolgozat a helyes eredményre a következő téves meggondolással jutott el: ,,maximum és minimum azok az értékek, amelyeket a függvény csak egyszer vesz fel, ezek azok, ahol a diszkrimináns 0.'' Eszerint minden elsőfokú függvény számára minden érték maximum volna és egyben minimum is; másrészt az érték nem volna maximuma az függvénynek, úgyszintén sem volna ennek minimuma, mert mindegyik értéket végtelen sokszor veszi fel. Azt mutatja ez, hogy a szélső értékek fogalma egyedül a másodfokú függvényre alapult. II. megoldás. Osztással és a nevezőben teljes négyzetté való kiegészítéssel az adott kifejezés így alakítható: | | majd helyére új változót írva | | (2) |
Eszerint -nak ott van maximuma, ahol az függvény minimális értéket vesz fel, és ott van minimuma, ahol maximális. lehet pozitív, negatív és 0, mert ugyanolyan jelű, mint a számláló, hiszen nevezője pozitív, mellett pedig ; ezért maximuma csak pozitív, minimuma csak negatív érték lehet. Elég -et pozitív -k mellett vizsgálni, mert és mellett felvett értékei csak előjelben különböznek, tehát az így meghatározandó maximum értékének, és helyének -szerese megadja a minimum értékét és helyét. További átalakítással | | így maximuma egyenlő az függvény minimumával. Vegyük észre, hogy pozitív mellett az összeg két tagjának mértani közepe 1, állandó. Ismeretes másrészt, hogy pozitív számok számtani közepe sohasem kisebb mértani közepüknél, és akkor egyenlő vele, ha a számok egyenlők. Eszerint felének minimuma 1, így , és ez akkor adódik, ha az a pozitív szám, amelyre , vagyis . Most már maximuma , és a fentiek szerint minimuma a helyen ; végül (2) szerint minimuma 1, maximuma 3, és e szélső értékeket figyelembevételével az , ill. helyen veszi fel. III. megoldás: Alakíthatjuk -t a következők szerint is:
Az első alak második tagja sohasem negatív, mert számlálója teljes négyzet és nevezője pozitív. Eszerint minimumát -nál, vagyis az helyen veszi fel; itt a második tag 0, és értéke 1. Hasonlóan a második alak kivonandója akkor legkisebb, ha , azaz , és itt értéke 0, tehát maximuma 3. |