Kezdőlap


Feladat:	1960. évi Matematika OKTV I. forduló 2. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1960/szeptember, 10 - 14. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenlőtlenségek, Nevezetes azonosságok, Nevező gyöktelenítése, OKTV
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/szeptember: 1960. évi Matematika OKTV I. forduló 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Igyekezzünk az (1) egyenlőtlenséget olyan alakra hozni, melynek helyessége már nyilvánvaló.
Szorozzuk meg (1)-et a feltevés szerint pozitív $2 a$ számmal, elegendő az így nyert

\begin{matrix} 2 a^{2} + 2 a c - 2 a \sqrt[]{{(a - c)}^{2} + b^{2}} \leq 4 a c - b^{2} \end{matrix}

egyenlőtlenséget igazolni, vagy ehelyett is az átrendezéssel keletkezett

\begin{matrix} 2 a^{2} - 2 a c + b^{2} \leq 2 a \sqrt[]{{(a - c)}^{2} + b^{2}} \end{matrix}

(2)

egyenlőtlenséget.
a) Ha itt a bal oldal negatív, azaz

2 a^{2} - 2 a c + b^{2} < 0

, akkor az egyenlőtlenség teljesül, mert a jobb oldal a négyzetgyök egyértelmű értelmezése, valamint a feltevés folytán nem lehet negatív. Mivel eddig csak megfordítható átalakításokat végeztünk, ebben az esetben a kiindulási egyenlőtlenség is helyes, mégpedig az egyenlőtlenség jele áll fenn.
b) Ha pedig a bal oldal nem-negatív, akkor elég megmutatni, hogy a bal oldal négyzete nem nagyobb a jobb oldal négyzeténél:

\begin{matrix} {(2 a^{2} - 2 a c + b^{2})}^{2} \leq 4 a^{2} {(a - c)}^{2} + 4 a^{2} b^{2} = {(2 a^{2} - 2 a c)}^{2} + 4 a^{2} b^{2} . \end{matrix}

(3)

A jobb oldal első tagját a bal oldalra áthozva és a két négyzet különbségét szorzattá alakítva:

\begin{matrix} b^{2} (4 a^{2} - 4 a c + b^{2}) \leq 4 a^{2} b^{2}, \end{matrix}

végül minden tagot a jobb oldalra gyűjtve

\begin{matrix} 0 \leq b^{2} (4 a c - b^{2}) . \end{matrix}

(4)

Mivel itt az első tényező mindig, a második pedig a feltevés szerint nem-negatív, azért a szorzat valóban nem negatív, és mint láttuk, ebből következik az eredet egyenlőtlenség helyessége. Egyenlőség (4)-ben és ezzel együtt az előző egyenlőtlenségekben is csak a

b^{2} = 0

, vagy a

4 a c - b^{2} = 0

esetben lehetséges.
Ha azonban valamely

a

b

c

értékrendszerrel (4)-ben és így (3)-ban is egyenlőség teljesül, ebből visszafelé nem föltétlenül következik, hogy (2)-ben és így (1)-ben is egyenlőség áll fenn, mert (2) jobb oldala pozitív, a bal azonban nem föltétlenül. Így a fönt említett két esetben meg kell még vizsgálnunk, állhat-e ‐ és ha igen, milyen feltételek mellett ‐ (1)-ben egyenlőség.

b = 0

esetén (1) így alakul:

\begin{matrix} a + c - | a - c | & \leq 2 c, \\ a - c & \leq | a - c |, \end{matrix}

itt egyenlőség csak

a \geq c

esetén áll fenn.

4 a c - b^{2} = 0

esetén (1) így alakul:

\begin{matrix} a + c - | a + c | & \leq 0, \\ a + c & \leq | a + c |, \end{matrix}

itt csak

a + c \geq 0

esetén áll fenn egyenlőség. Ez azonban mindig teljesül, mert

4 a c = b^{2} \geq 0

és

a > 0

folytán

c \geq 0

.
Mindezek szerint (1) a feltevések mellett mindig teljesül, egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha vagy

\begin{matrix} 1) b = 0 és a \geq c, vagy \\ 2) 4 a c - b^{2} = 0. \end{matrix}

Megjegyzések: 1. Többen a negatív oldalakat tartalmazó

\begin{matrix} - 2 a \sqrt[]{{(a - c)}^{2} + b^{2}} \leq - (2 a^{2} - 2 a c + b^{2}) \end{matrix}

egyenlőtlenség gépies négyzetreemelésével a bizonyítandó egyenlőtlenségnek éppen az ellenkezőjét vélték ,,bizonyítani''. Ezek a versenyzők a négyzetre emeléskor hibáztak, mert hiszen pl.

- 5 < 4

, és

- 5 < - 4

, de négyzetreemelés után már a

25 > 16

egyenlőtlenség áll fenn.
2. Azokra az

a

b

c

értékrendszerekre, amelyekre (2) bal oldala negatív, az eredeti egyenlőtlenség

4 a c - b^{2}

előjelétől függetlenül teljesül. (Itt csak

a

pozitív voltát használtuk ki.)
Azokra az

a

b

c

értékrendszerekre, amelyekre (2) bal oldala nem-negatív,

4 a c - b^{2} \leq 0

és

a > 0

esetén az eredeti egyenlőtlenség fordítottja igaz;

a < 0

és

4 a c - b^{2} \geq 0

esetén az egyenlőtlenségnek szintén az ellenkezője igaz; és végül

a < 0

és

4 a c - b^{2} \leq 0

esetén az eredeti egyenlőtlenség igaz.

II. megoldás: Vonjuk ki a vizsgálandó egyenlőtlenség bal oldalát a jobb oldalból; átalakítás és összevonás után

\begin{matrix} \frac{4 a c - b^{2}}{2 a} - (a + c) + \sqrt[]{{(a - c)}^{2} + b^{2}} = \\ (5) \\ = & \sqrt[]{{(a - c)}^{2} + b^{2}} - (a - c) - \frac{b^{2}}{2 a} \geq 0. \end{matrix}

Ebből egyszerűbb kifejezés adódik, ha megszorozzuk a

\begin{matrix} \sqrt[]{{(a - c)}^{2} + b^{2}} + (a - c) + \frac{b^{2}}{2 a} \end{matrix}

(6)

értékkel. Ez a szorzó nem negatív, mert nagyobb vagy egyenlő, mint

| a - c | + (a - c)

, ami pedig nem negatív, és

0

is csak

b = 0

a \leq c

esetben lesz, de ekkor (5) bal oldala

| a - c | - (a - c) = 2 (c - a) \geq 0

, tehát a bizonyítandó állítás érvényes.
Ha (6) értéke pozitív, és megszorozzuk vele (5)-öt, akkor

\begin{matrix} (7) \\ (\sqrt[]{{(a - c)}^{2} + b^{2}} - (a - c) - \frac{b^{2}}{2 a}) \cdot (\sqrt[]{{(a - c)}^{2} + b^{2}} + (a - c) + \frac{b^{2}}{2 a}) = \\ = {(a - c)}^{2} + b^{2} - {[(a - c) + \frac{b^{2}}{2 a}]}^{2} = b^{2} - \frac{b^{2}}{a} (a - c) - \frac{b^{4}}{4 a^{2}} = \\ = \frac{b^{2} (4 a c - b^{2})}{4 a^{2}} \geq 0. \end{matrix}

Ebből következik az állítás helyessége. Az egyenlőség esetének vizsgálata ugyanúgy történhet, mint az I. megoldásban.

Megjegyzés: A (6) kifejezés átalakításából adódik, hogy

\begin{matrix} \sqrt[]{{(a - c)}^{2} + b^{2}} + (a - c) + \frac{b^{2}}{2 a} = \sqrt[]{{(a + c)}^{2} - (4 a c - b^{2})} + (a + c) - \frac{4 a c - b^{2}}{2 a} \leq 2 (a + c) . \end{matrix}

Ha a (7) bal oldalán (6) helyébe a nála nagyobb vagy egyenlő (pozitív)

2 (a + c)

-t tesszük és átosztunk vele, azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} \sqrt[]{{(a - c)}^{2} + b^{2}} - (a - c) - \frac{b^{2}}{2 a} \geq \frac{b^{2} (4 a c - b^{2})}{8 a^{2} (a + c)}, \end{matrix}

és ebből további átalakítással

\begin{matrix} (a + c) - \sqrt[]{{(a - c)}^{2} + b^{2}} \leq (1 - \frac{b^{2}}{4 a (a + c)}) \cdot \frac{4 a c - b^{2}}{2 a} . \end{matrix}

(8)

Ez a feladatban kitűzött állításnál erősebb állítás. Ugyanis a jobb oldal első tényezőjének értéke általában kisebb 1-nél.

III. megoldás: Az (1) egyenlőtlenség bal oldala nem negatív, mert

\begin{matrix} a + c - \sqrt[]{{(a - c)}^{2} + b^{2}} = a + c - \sqrt[]{{(a + c)}^{2} - (4 a c - b^{2})} \geq a + c - | a + c | = 0, \end{matrix}

ugyanis a feltétel szerint

4 a c - b^{2} \geq 0

, és

a > 0

, tehát

c \geq 0

, és így

a + c > 0

.
Ha pozitív a bal oldal (vagyis ha

4 a c - b^{2} \geq 0

), akkor osszuk el vele mindkét oldalt. Ekkor azt kell megmutatni, hogy a mondott feltételek mellett

\begin{matrix} A = \frac{\frac{4 a c - b^{2}}{2 a}}{a + c - \sqrt[]{{(a - c)}^{2} + b^{2}}} \geq 1. \end{matrix}

(9)

Gyöktelenítsük a nevezőt:

\begin{matrix} A & = \frac{(4 a c - b^{2}) (a + c + \sqrt[]{{(a - c)}^{2} + b^{2}})}{2 a [{(a + c)}^{2} - {(a - c)}^{2} - b^{2}]} = \\ = \frac{(4 a c - b^{2}) (a + c + \sqrt[]{{(a - c)}^{2} + b^{2}})}{2 a (4 a c - b^{2})} . & (10) \end{matrix}

4 a c - b^{2}

-ről feltettük, hogy nem zérus, egyszerűsítve vele

\begin{matrix} A = \frac{a + c + \sqrt[]{{(a - c)}^{2} + b^{2}}}{2 a} \geq \frac{a + c + | a - c |}{2 a}, \end{matrix}

és itt ha a)

a \geq c

, akkor a jobb oldalon

2 a / 2 a = 1

áll,
ha pedig b)

a < c

, akkor a jobb oldal értéke

2 c / 2 a > 1

,
tehát mindig

A \geq 1

.
Egyenlőség csak az a) esetben állhat, éspedig akkor és csak akkor, ha

\begin{matrix} \sqrt[]{{(a - c)}^{2} + b^{2}} = | a - c |, azaz ha b = 0. \end{matrix}

Ha viszont a

4 a c - b^{2}

kifejezés eltűnik, akkor, mint láttuk, az eredeti egyenlőtlenség bal oldala eltűnik, és eltűnik a jobb oldal is, tehát ez esetben is helyes az állítás, mégpedig egyenlőség áll fenn.

Megjegyzés: Míg az előző megoldásból egy élesebb felső becslést sikerült kapnunk, addig ebből a megoldásból (1) bal oldalára alsó becslést kaphatunk. Ha

4 a c - b^{2}

pozitív, akkor (10)-ben egyszerűsítve vele

\begin{matrix} A = \frac{a + c + \sqrt[]{{(a - c)}^{2} + b^{2}}}{2 a} = \frac{a + c + \sqrt[]{{(a + c)}^{2} - (4 a c - b^{2})}}{2 a} . \end{matrix}

A tört értékét határozottan növeljük, ha a gyökjel alatti pozitív kivonandót elhagyjuk:

\begin{matrix} A < \frac{a + c + | a + c |}{2 a} = \frac{2 (a + c)}{2 a} = \frac{a + c}{a} . \end{matrix}

A

értékét (9)-ből beírva és átszorozva kapjuk

\begin{matrix} \frac{4 a c - b^{2}}{2 a} < [a + c - \sqrt[]{{(a - c)}^{2} + b^{2}}] \cdot \frac{a + c}{a}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} \frac{a}{a + c} \cdot \frac{4 a c - b^{2}}{2 a} < a + c - \sqrt[]{{(a - c)}^{2} + b^{2}} . \end{matrix}

(11)

Ez akkor is teljesül, ha (1)-ben

b = 0

és

a \geq c

folytán egyenlőség áll fenn; ha pedig

4 a c - b^{2} = 0

, akkor (11) is egyenlőségbe megy át, mert mindkét oldal értéke 0.
Így (9) és (11)-gyel (1) bal oldalát a következő korlátok közé szorítottuk:

\begin{matrix} \frac{a}{a + c} \cdot \frac{4 a c - b^{2}}{2 a} \leq a + c - \sqrt[]{{(a - c)}^{2} + b^{2}} \leq (1 - \frac{b^{2}}{4 a (a + c)}) \cdot \frac{4 a c - b^{2}}{2 a} . \end{matrix}