Kezdőlap


Feladat:	1959. évi Matematika OKTV II. forduló 1. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1960/január, 2. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Maradékos osztás, OKTV
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/szeptember: 1959. évi Matematika OKTV II. forduló 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $N$ valamilyen $k$ érték mellett minden $n$ -re osztható $7$ -tel, akkor $n = 1$ -re is osztható, tehát

\begin{matrix} 3^{5} - 2 k + 1 = 244 - 2 k = 7 m . \end{matrix}

(1)

Itt a bal oldal páros, tehát a jobbnak is párosnak kell lennie. Ez akkor és csak akkor áll fenn, ha

m

páros:

m = 2 m_{1}

. Így

k

-ra azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} k = 122 - 7 m_{1} = 7 (17 - m_{1}) + 3 = 7 m_{2} + 3. \end{matrix}

Itt

m_{2}

tetszés szerinti egész értéke mellett fennáll (1) az

m = 34 - 2 m_{2}

értékkel.
Megmutatjuk másfelől, hogy

N

minden

n

-re

7

-tel osztható számmal tér el az

n = 1

-hez tartozó értéktől. Valóban

\begin{matrix} N - (3^{5} - 2 k + 1) = 3^{5} (3^{6 (n - 1)} - 1) - 2 k (2^{3 (n - 1)} - 1), \end{matrix}

és a jobb oldal első különbsége osztható

3^{6} - 1 = (3^{3} - 1) (3^{3} + 1) = 26 \cdot 28

-cal, tehát

7

-tel is, a második tag pedig osztható

2^{3} - 1 = 7

-tel, így az egész különbség is.
Azt kaptuk tehát, hogy

N

akkor és csak akkor osztható minden

n

-re 7-tel, ha ez az

n = 1

-hez tartozó értékére teljesül, ehhez pedig szükséges és elegendő is, hogy

k

7-tel osztva 3-at adjon maradékul.