Kezdőlap


Feladat:	1959. évi Matematika OKTV I. forduló 2. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1959/szeptember, 6 - 7. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hengerek, Kúpok, Gömb és részei, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Szabályos sokszögek geometriája, Háromszögek hasonlósága, OKTV
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/szeptember: 1959. évi Matematika OKTV I. forduló 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A henger és a kúp közös tengelyén átmenő bármely $A B C D E$ síkmetszetben az $A B$ henger- és az $A C$ kúpalkotó ugyanakkora $B A C$ szöget zár be. Így $r$ sugaraik egyenlősége folytán mind a $6$ gömb középpontja ugyanolyan mélyre esik le, középpontjaik egy vízszintes síkban helyezkednek el. Ezek nyilván egy olyan $2 r$ oldalú szabályos hatszög csúcsai, amelynek középpontja a henger tengelyén van, ezért a gömbközéppontoknak a tengelytől való távolsága ugyancsak $2 r$ , a henger falától való távolságuk $r$ ; így a henger (és a kúp) sugara: $R = r + 2 r = 3 r$ .

Tekintsünk egy olyan tengelymetszetet, amely átmegy egy gömbnek

G

középpontján. A gömbből így kimetszett főkör érinti az

A B

, ill.

A C

alkotókat. Tekintsük e főkör érintőjét a gömb legmagasabban fekvő

T

pontjában, és jelöljük ennek az alkotók (vagy meghosszabbításaik) közti szakaszát

B' C' = x

-szel. Így adataink alapján az

A B' C'

derékszögű háromszögben

A B' = 2 x

A C' = \sqrt[]{5} x

. A főkör ezen háromszögnek beírt köre, ennélfogva szokásos jelölésekkel és az ismert összefüggés alapján:

\begin{matrix} r = \frac{t}{s}, azaz r = \frac{x^{2}}{x \frac{3 + \sqrt[]{5}}{2}} = \frac{x}{\frac{3 + \sqrt[]{5}}{2}} . \end{matrix}

Ennek alapján

\begin{matrix} \frac{x}{R} = \frac{3 + \sqrt[]{5}}{6} < \frac{2 + \sqrt[]{9}}{6} = 1, \end{matrix}

és mivel

R

pozitív, azért

x < R

. Eszerint

B' C' < B C

, és az

A B' C'

és

A B C

háromszögek hasonlósága alapján

A B' < A B

, tehát

T

alatta van a fedőlap

B D

szintjének, a gömbök nem emelkednek ki az edényből.

II. megoldás: Ha már megkaptuk az

r = R / 3

összefüggést, akkor szinte számítás nélkül is válaszolhatunk a kérdésre a következő átfogalmazás alapján:
Beilleszthető-e egy gömb az edénybe (a kúp után) úgy, hogy érintse a henger falát és legmagasabb pontja a fedőlap szintjében legyen? Látható, hogy igen. Ugyanis a gömb főkörmetszetét befoglalva egy

2 r

oldalú

D P Q S

négyzetbe, ennek az a

Q

csúcsa, amely sem a hengeralkotón, sem a fedőlappal való metszésvonalon nincs rajta, éppen a kúp alkotójára esik; ez mutatja, hogy az ilyen beillesztésnek nincs akadálya, ebből a helyzetből eleresztve a gömb lejjebb esik, vagyis még a fedőlap szintjét sem éri el a legmagasabb pontja.