Kezdőlap


Feladat:	1959. évi Matematika OKTV I. forduló 1. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1959/szeptember, 4 - 6. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani sorozat, Négyzetrács geometriája, OKTV
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/szeptember: 1959. évi Matematika OKTV I. forduló 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Mindkét ismeretlen értéke csak a $0$ , $\pm 1$ , $\pm 2, ..., \pm 999$ számok egyike lehet, de az egyik értékének megválasztása korlátozást jelent a másikéra. Menjünk végig $x$ minden egyes értékén, és állapítsuk meg a mellette lehetséges, vele megoldást adó $y$ -értékek számát; kérdésünkre ezen számok összege adja meg a választ. ‐ Vegyük először $x$ nemnegatív értékeit.
$x = 0$ mellett $| y | < 1000$ , azaz $- 1000 < y < 1000$ , ennek $- 999$ , $- 998, ..., - 1$ , $0$ , $1, ...,999$ tesznek eleget, számuk $2 \cdot 999 + 1 = 1999$ .
$x = 1$ mellett $| y | < 999$ , az előbbinél $2$ -vel kevesebb megoldás van, mert $y = \pm 999$ már nem felel meg.
Általában is, $x$ valamely értékéről az $1$ -gyel nagyobbra áttérve $| y |$ -nek legnagyobb lehetséges értéke $1$ -gyel kisebbnek adódik, így $y$ előbbi értékei közül kettőt kell törölnünk, az $x$ , $y$ megoldások száma $2$ -vel csökken. Így a megoldások számai $x = 0,1,2, ...,999$ -re számtani sorozatot alkotnak. Az utolsó tag $x = 999$ -cel $: 1$ , a tagok száma 1000, és így összegük:

\begin{matrix} \frac{1000 (1999 + 1)}{2} = 1000^{2} . \end{matrix}

x = - 1

- 2, ..., - 999

esetén

| x | = 1,2, ...,999

, így az előzőkhöz hasonlóan az ilyen megoldások együttes száma

\begin{matrix} 1997 + 1995 + ... + 1 = 999^{2} . \end{matrix}

Ezzel valamennyi megoldást figyelembe vettük, összes számuk:

1000^{2} + 999^{2} = 1 998 001

II. megoldás: A kérdés egyértelmű a következővel: hány olyan

x

y

egész számpár van, amelyre az

| x | + | y |

összeg vagy

0

-val, vagy

1

-gyel, vagy

2

-vel,

...

, vagy

999

-cel egyenlő? Állapítsuk meg tehát általában az

| x | + | y | = k

egyenlet egész számokban való megoldásainak

N_{k}

számát, ‐ ahol

k

nemnegatív egész szám ‐, és képezzük ezek összegét

k = 0

1

2

...

999

-re.

k = 0

esetén egy megoldás van:

x = y = 0

k = 1

esetén négy megfelelő értékpár van:

1

0

;

- 1

0

;

0

1

;

0

- 1

k \geq 2

esetén a megoldásokat két csoportba osztjuk aszerint, hogy fellép-e bennük a

0

szám, vagy nem. Az elsőbe a

k = 1

esethez hasonlóan

4

megoldás jut:

k,0

;

- k,0

;

0, k

;

0, - k

. A második csoportban

| x |

a következő

k - 1

értéket veheti fel:

\begin{matrix} | x | = j = 1,2,3,...,k - 1, \\ és evvel| y |is meg & van határozva: \\ | y | = k - j = k - 1,k - 2,k - 3,...,1. \end{matrix}

j

minden fenti értékével az előjelek figyelembevétele során

2 \cdot 2 = 4

megoldás adódik, mert

j

és

k - j

mindegyike számára egymástól függetlenül

2

-féleképpen választhatjuk az előjelet:

\begin{matrix} j, k - j; - j, k - j; j, - (k - j); - j, - (k - j), \end{matrix}

tehát itt a megoldások száma

4 (k - 1)

. ‐ Végeredményben

k \geq 2

esetén a megoldások száma

4 + 4 (k - 1) = 4 k

. Ez a kifejezés

k = 1

esetén is helyes, ekkor a második csoportba nem tartozik megoldás;

k = 0

-ra azonban nem érvényes.
Ezek után

k = 0

1

2

...

999

-re

\begin{matrix} N = 1 + 4 (1 + 2 + 3 + ... + 999) = 1 + 4 \cdot \frac{999 \cdot 1000}{2} = 1 998 001. \end{matrix}

Megjegyzés. Ugyanígy, ha s nemnegatív egész szám, akkor az

| x | + | y | < s

egyenlőtlenség megoldásainak száma egész számokban:

\begin{matrix} N_{s} = 1 + 4 [1 + 2 + 3 + ... + (s - 1)] = 2 s^{2} - 2 s + 1. \end{matrix}

III. megoldás: Minden egyes megoldást a derékszögű koordinátarendszerben egy ún. rácspont ábrázol, vagyis olyan pont, amelynek mindkét koordinátája egész szám. Jellemezzük e rácspontok helyzetét, majd ennek alapján számukat megállapítva adjunk választ kérdésünkre.

Az adott egyenlőtlenség így is írható:

\begin{matrix} | x | + | y | \leq 999. \end{matrix}

Tekintsük átmenetileg csak azokat a megoldásokat, amelyekben

x

és

y

egyike sem negatív. Így

| x | = x

és

| y | = y

, teljesül tehát

\begin{matrix} x \geq 0, y \geq 0 és x + y \leq 999. \end{matrix}

(1)

Az ezen korlátozásoknak eleget tevőrácspontok nem lehetnek az

x = 0

egyenestől (az

Y

-tengelytől) balra, az

y = 0

-tól (

X

-tengely) lefelé, és az

x + y = 999

egyenestől ,,jobbra fölfelé''. Más szóval: (1)-nek csak az ezen három egyenessel bezárt

O P Q

derékszögű háromszög csúcsaiban, oldalszakaszain és belsejében fekvő rácspontok tehetnek eleget, ahol

O

P

és

Q

koordinátái:

(0,0)

(999,0)

és

(0,999)

.
Fordítva: ha valamely

x

y

rácspont eleget tesz ezen geometriai előírásoknak, akkor az

x

y

számpárra, továbbá ‐ negatív értékeket ismét megengedve ‐ vele együtt a

- x

y

, az

x

- y

és a

- x

- y

párokra is teljesül az adott egyenlőtlenség. Az utóbbi számpároknak megfelelő rácspontok azoknak az

O P' Q

O P Q'

, ill.

O P' Q'

háromszögeknek a kerületén és a belsejében vannak, amelyek

O P Q

-ból az

Y

-ra,

X

-re, ill.

O

-ra való tükrözéssel keletkeznek. A négy háromszög együtt hézagtalanul kitölti a

P Q P' Q'

négyzetet, ahol

P' (- 999,0)

és

Q' (0, - 999)

.
Számuk megállapítása céljára e négyzet rácspontjait többféleképpen rendezhetjük.
a) Valamelyik tengellyel, pl. az

Y

-nal párhuzamos sorok (rácsegyenesek) szerinti számlálással lényegében az I. megoldást ismételjük. ‐ Hasonlóan a II. megoldás is értelmezhető pontszámlálásként, meggondolásunkat a

P Q P' Q'

-höz hasonló helyzetű azon négyzetek kerületein való számlálás szemlélteti, melyeknek közös középpontja

O

, és átlója rendre

2

4

6

...

1998

egység, és ehhez hozzávesszük az origót. (

x

y

-on valós számokat értve pl.

| x | + | y | = 999

P Q P' Q'

négyzet kerületének egyenlete.)
b) A

P Q P' Q'

négyzet oldalaival párhuzamos rácsegyenesek mentén való számlálásban célszerű a rácspontokat két csoportra, páratlanokra és párosakra osztani az

x + y

összeg páratlan, ill. páros volta szerint, és a számlálást csoportonként végezni. Ugyanis

P Q

vagy

P Q'

irányú mozgással sem páros rácspontból páratlanba nem lehet átjutni, sem fordítva, így a pontok e két irányra nézve nem egyszerű hálót alkotnak, számuk nem állapítható meg puszta szorzással. Valóban, a

P Q

irányú egyenesek egyenlete

x + y = c

alakú, ahol

c

állandó, tehát ezeken mozogva

x + y

párossága is változatlan; és ugyanez áll

P Q'

irányú egyenesen való mozgás esetén is, mert egyenletük

x - y = d

alakú, ahol

d

állandó, és két egész szám különbsége ugyanolyan párosságú, mint az összege. ‐ Minden rácspont vagy páros, vagy páratlan. Könnyen belátható, hogy páratlan rácspontjaink

P Q

és

P Q'

-vel párhuzamosan ezer-ezer sort alkotnak, számuk

1000^{2}

, a párosaké pedig hasonlóan

999^{2}

.
c) Rácspontjaink számát különbségként is megkaphatjuk: véve a

P

és

P'

, ill.

Q

és

Q'

pontokon át az

Y

, ill.

X

-tengellyel párhuzamos egyenesek által határolt négyzet

1999^{2} = 3 996 001

rácspontját, és ebből elhagyva a

P Q P' Q'

-négyzeten kívül, a négy sarki háromszögben fekvőket, mint számunkra feleslegeseket. Ez utóbbiak együttes száma

4 (1 + 2 + ... + 999) = 1 998 000

. A jobb felső ilyen háromszög csúcsai:

P^{*} (999,1)

Q^{*} (1,999)

és

S^{*} (999,999)

. Így

N = 3 996 001 - 1 998 000 = 1 998 001

.
d) A rácspontok száma területszámítás útján is megállapítható. Rendeljük hozzá minden

R

rácsponthoz annak az egységnyi oldalú ,,elemi'' négyzetnek a területét, amelynek középpontja

R

és oldalai párhuzamosak a tengelyekkel. Így ‐ ha valamely, a koordinátarendszerben fekvő idom területe csupa ilyen négyzetre bontható fel, ‐ akkor annyi rácspontot tartalmaz, ahány egységnyi a területe. ‐ Vegyük hozzá a

P Q P' Q'

négyzethez a kerületén fekvő rácspontokhoz tartozó elemi négyzeteknek a

P Q P' Q'

-n kívül fekvő részeit, így egy ,,fogazott négyzetet'' kapunk. A

P

Q

P'

Q'

rácspontok elemi négyzetéből egyenkint

3 / 4

területegységnyi rész fekszik ,,kívül'', összesen

3

egység, a

P Q

Q P'

P' Q'

Q' P

oldalszakaszok belsejében fekvő

4 \cdot 998 = 3992

rácspontéból pedig egyenkint

1 / 2

területegységnyi rész, összesen

1996

egység. Mivel még

\bar{P Q} = 999 \sqrt[]{2}

, azért a fogazott négyzet területe

2 \cdot 999^{2} + 3 + 1996 = 1 998 001

egység, megegyezésben fentebbi eredményünkkel.