Feladat: 1958. évi Matematika OKTV II. forduló 2. feladata Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1958/november, 68 - 69. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Nevezetes azonosságok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Egész együtthatós polinomok, OKTV
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1958/október: 1958. évi Matematika OKTV II. forduló 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Azt kell vizsgálnunk, mikor állhat fenn egész x, y értékekre

x2+ax+b=y2.
Innen x-et meghatározva
x=-a±a2-4b+4y22,(1)
és ez csak úgy adhat egész értéket, ha a négyzetgyökjel alatt teljes négyzet áll:
a2-4b+4y2=z2
Innen
z2-4y2=(z+2y)(z-2y)=a2-4b.
A jobb oldalon állandó érték áll; így ha y is, z is természetes szám, akkor ez az egyenlőség csak olyan értékekre állhat fenn, amelyekre 2y+z nem nagyobb ennél az állandó értéknél. Ilyen y, z számpár csak véges sok van. Minden y értékhez (1) szerint legfeljebb két x érték tartozik, tehát csak véges sok olyan egész x érték lehet, amelyre x2+ax+b négyzetszám, ha a2-4b≠0.
Ha viszont a2-4b=0, akkor
x2+ax+b=x2+ax+(a2)2=(x+a2)2,
tehát a kifejezés egy elsőfokú polinom négyzete. Ezzel igazoltuk a feladat állítását.
 

Megjegyzés: A tárgyalt második esetben b=a24 csak úgy lehet egész szám, ha a páros. Ebben az esetben az adott másodfokú kifejezés egy egész együtthatós elsőfokú polinom négyzete, s így minden egész x értékre négyzetszámot állít elő.
 

II. megoldás: Kényelmesebb lesz az adott kifejezés négyszeresét vizsgálni. Ez is négyzetszámot állít elő, ha az adott polinom értéke négyzetszám, de fordítva is: a polinom egész helyen mindig egész számot állít elő, s így a négyszerese mindig páros számot. Ha ez a néggyel szorzott érték négyzetszám, akkor páros szám négyzetének kell lennie, s így a negyedrésze, vagyis az eredeti polinom értéke is egész szám négyzete. Elegendő tehát a polinom négyszeresét vizsgálni:
4x2+4ax+4b=(2x+a)2+4b-a2.
Ha ez egy y egész szám négyzete, akkor
4b-a2=y2-(2x+a)2=(y+2x+a)(y-2x-a).
Azonban egy egész szám a 0 kivételével csak véges sok féleképpen bontható két egész szám szorzatára, egy-egy felbontás pedig már egyértelműen meghatározza x-et és y-t.
Így az adott kifejezés csak akkor vehet fel végtelen sok egész x értékre négyzetszámot, ha 4b-a2=0, ekkor
4x2+4ax+4b=(2x=a)2
és ennek negyedrésze ugyancsak egy elsőfokú polinom négyzete. Ezzel igazoltuk a feladat állítását.
 

Megjegyzés: Mint láttuk, ha végtelen sok helyen állít elő a polinom négyzetszámot, akkor minden egész x-re négyzetszám az értéke, tehát eredményünk így fogalmazható: ha egy a feladatban adott alakú polinom értéke minden egész x-re négyzetszám, akkor a polinom egy polinom négyzete. Ez az állítás már sokkal általánosabban igaz, nemcsak a legmagasabb fokú tagnak adhatunk együtthatót, hanem a fokszámra sem kell kikötést tennünk. Érvényes a következő tétel: Ha egy egész együtthatós polinom értéke minden egész helyen négyzetszám, akkor a polinom egy polinom négyzete. A tétel négyzet helyett tetszés szerinti egész k-val k-adik hatványokra is igaz.
Az viszont lényeges, hogy ne csak végtelen sok egész helyre tegyünk feltételt, mert amint a legmagasabb együtthatóról nem kötjük ki, hogy 1 legyen, akkor már van olyan másodfokú polinom is, amelyik nem teljes négyzet, és végtelen sok egész helyen vesz fel négyzetszámot értékül.