Kezdőlap


Feladat:	1958. évi Matematika OKTV I. forduló 1. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1958/szeptember, 1 - 3. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani sorozat, Mértani sorozat, OKTV
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/szeptember: 1958. évi Matematika OKTV I. forduló 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $a_{1}$ , $a_{2}$ , $...$ , $a_{n + 1}$ számtani sorozat különbségét $d$ -vel jelölve, a kitevőket átalakítjuk:

\begin{matrix} a_{2}^{2} - a_{1}^{2} = (a_{2} - a_{1}) (a_{2} + a_{1}) = d (a_{2} + a_{1}) = d (2 a_{1} + d) = 2 a_{1} d + d^{2}, \end{matrix}

hasonlóan:

\begin{matrix} a_{3}^{2} - a_{2}^{2} = 2 a_{1} d + 3 d^{2}, \\ \cdot \cdot \cdot \\ a_{n + 1}^{2} - a_{n}^{2} = 2 a_{1} d + (2 n - 1) d^{2}, \end{matrix}

úgy, hogy:

\begin{matrix} S_{n} = x^{2 a_{1} d + d^{2}} + x^{2 a_{1} d + 3 d^{2}} + ... + x^{2 a_{1} d + (2 n - 1) d^{2}} = \\ = x^{2 a_{1} d + d^{2}} (1 + x^{2 d^{2}} + x^{4 d^{2}} + ... + x^{(2 n - 2) d^{2}}) . \end{matrix}

A zárójelben olyan

n

tagú mértani sor áll, amelynek hányadosa

x^{2 d^{2}}

. Mivel a feltétel szerint

x \neq 1

és

d \neq 0

, azért a hányados nem 1, és így alkalmazhatjuk a mértani sor összegképletét, amely szerint:

\begin{matrix} S_{n} = x^{2 a_{1} d + d^{2}} \cdot \frac{x^{2 n d^{2}} - 1}{x^{2 d^{2}} - 1} . \end{matrix}